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各点収束と一様収束とは?それぞれ徹底的に説明してみた

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浪人の末に後期試験で男だらけの工業大学に進学した。勉強はほどほどにサークルで女子と楽しい大学生活を送ると思いきや、まともに話せずに1年間女子話さずに童貞を継続。「このままでは一生童貞だ」と思い大学1年の春に、、、

ここでは、これまで収束は数列でのみの極限値のことでしたが、それを関数に拡張して考えて、関数の極限が収束する場合、いったいどんな場合、関数で極限をとると収束するのかを見てゆきます。

 

そこで、関数の極限をとった場合、二つの収束の考え方があります。それが各点収束と一様収束です。各点収束、一様収束とはいったいどのようなものをいうのか、そして、各点収束と一様収束の関係を説明してゆきます。

 

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各点収束とは?

数列$$\left\{a_n\right\}$$が$$\alpha$$に収束するとは $$|a_n – \alpha| = 0\,\,\,\,(n \to \infty)$$ということです。これを関数の列に当てはめるとどういうことになるのでしょうか。例として次の関数の列を考えてみます。

$$f_n(x) = \frac{\sin\,x}{n}\,\,\,\,\,I =[0, 2\pi]$$

これを$$n \to \infty$$をとれば$$F(x) \equiv 0\,\,\,\,\,I = [0, 2\pi](F(x)は恒常的に0ということ)$$に次第に近づくということは直感的にわかると思います。

 

 

$$f_n(x)はn \to \inftyになるとF(x)に「どんどん近づく」のはわかると思います。$$

 

各点収束

任意の$$x \in I$$を固定すると関数列$$\left\{f_n(x)\right\}$$が収束列であるとき、関数列$$\left\{f_n(x)\right\}$$は$$I$$において各点収束するという。

 

極限値は$$x$$によって決定するので$$x$$の関数です。これを極限関数と呼び$$\lim_{N \to \infty}f_n(x)$$と表します。

 

先の関数列$$f_n(x) = \frac{\sin\,x}{n}$$を考えれば、関数列$$\left\{\frac{\sin\,x}{n}\right\}$$は収束列であり、$$\begin{array}{|}\frac{\sin\,x}{n}\end{array} < \frac{1}{n}$$より$$\lim_{n \to \infty}\frac{\sin\,x}{n} = 0$$

 

したがって極限関数$$\lim_{n \to \infty}f_n(x) = F(x) \equiv 0$$

 

一様収束とは?

次の例題を考えます。

$$\begin{align*}f_n(x) = \left\{\begin{array}{1} nx & (0 \leq x \leq \frac{1}{n}) \\ 2 – nx & (\frac{1}{n} \leq x \leq \frac{2}{n}) \\ 0  & (その他) \end{array}\right.  &   I = [0, 2]\end{align*}$$

 

例題の関数列をグラフで書くと上記になります。

$$f_n(x)は任意のx\in Iに対して\lim_{n \to \infty}f_n(x) = 0$$

証明

(i)$$x = 0$$のとき$$f_n(x) = 0\Rightarrow \lim_{n \to \infty}f_n(0) =0$$

(ii)$$x > 0$$のとき$$x$$を固定すると十分に大きな$$N$$が存在して$$\frac{2}{N} < x$$となります。

$$n > N $$のとき$$f_n(x) = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty}f_n(x) = 0$$

ここで$$F(x) \equiv 0$$とすれば$$\lim_{n \to \infty}f_n(x) = F(x)$$

しかし、上記のグラフからもわかるように、任意の$$n$$については$$\sup_{x\in I}|f_n(x) – f(x)| = 1$$です。これではどう考えても$$f_n(x)$$は$$F(x)$$に近づくとはいいがたいです。それというのも任意の$$n$$では$$f_n(x)$$は必ず$$1$$になるからです。一方で、各点収束で扱った関数列では$$\sup_{x \in I}|f_n(x) – f(x)| = 0  (n \to \infty)$$が成り立っています。これはもっと掘り下げなければなりませんね。ここで$$「2つの関数f’x)とg(x)が近い」$$ということをもっと考えてゆきます。$$g(x)がf(x)に「1ぐらい近い」$$ということはどんなこととかを考えましょう。ここで、$$「y = g(x)のグラフがy = f(x)のグラフの両幅1の帯状領域にある」$$と考えてみましょう。

上記のグラフより、$$x$$がどんなに変動しようが$$|f(c) – g(x)| < 1$$ということです。この考え方を取り入れて、さらに堀り進めてゆきます。

$${}^{\forall}_{}\epsilon > 0$$に対して$$「g(x)がf(x)に\epsilonだけ近い」$$とは、$$xがどんなに変動しようが|f(x) – g(x)| < \epsilon$$ということです。

一様収束

関数列$$\left\{f_n(x)\right\}$$が$$\sup_{x\in I}|f_n(x) – f(x)| \rightarrow 0$$を満たすとき、$$f_n(x)はf(x)に一様収束する$$といいます。

 

まとめ

各点収束と一様収束について説明してきましたが、理解できたでしょうか。つまるところ、各点収束と一様収束の違いは次のとおりです。

$${}^{\forall}_{}\epsilon \in I  {}^{\exists}_{} N(\epsilonによって決まる) {}^{\forall}_{} x \in I |f_n(x) – f(x)| < \epsilon (n > N) \Rightarrow 一様収束 \\ {}^{\forall}_{}\epsilon > 0 {}^{\forall}_{}x \in I {}^{\exists}_{}N (\epsilonとxで決まる) |f_n(x) – f(x)| < \epsilon (n > N)\Rightarrow 各点収束 $$

論理式で表すと、なおさらわからない思われるかもしれませんが、各点収束と一様収束の違いはなんとなくわかっていただけたかもしれません。各点収束は関数列が数列のように扱え、一様収束は、関数列の振る舞いがある関数へと近づてゆくということなのです。

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