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ん?このサイトはいつから料理サイトになったんだ?
さて、本日メニュー・・・もとい、
本日のテーマは二重積分です。二を省略して、重積分と呼ばれることが多いですよ。
【積分】【重積分】【三重積分】
この3つの違いがよくわからない人って多いと思うんですよ。
ここではわかりやすく?料理の切り方に例えてご紹介します。
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【積分】【重積分】【三重積分】はイラストを見たら一発で区別できるぞ!
重積分とは
さて、積分は高校のときに習いましたよね。面積を表すのに使われ、たくさん計算をしてきたのではないでしょうか。
一方、重積分はどんなときに使うかというと・・・
底面が平らな立体の体積
を表すときに使われます。
※底面が平らでないときは、ぶった切れば底面が平らな立体2つにわけて考えることができる。
例 \(\iint_D xy dxdy\) , \(D=\){\((x,y)|x^2 \leq y \leq 2x\)} を計算せよ
のようにインテグラルが2つついているものが重積分です。このように体積の計算をするために使われます。
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う~ん。立体の体積か。でも三重積分もそんな感じじゃない?
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・・・・・・そうだな。じゃあまずは、イメージで捉えてみようか!
「いや、そもそもその切り方がわかんないから!」って言われると思うので、イラストを見てイメージを掴んでください。
![](https://univ-study.net/wp-content/uploads/2018/03/cooking03_sengiri-150x150.png)
![](https://univ-study.net/wp-content/uploads/2018/03/cooking10_hyoushigigiri-150x150.png)
![](https://univ-study.net/wp-content/uploads/2018/03/cooking09_sainomegiri-150x150.png)
左から、キャベツの千切り 大根の拍子木切り 大根のさいの目切り です。
積分
積分を使って曲線で囲まれた面積を求めるとき ⇒ x方向に細かくして、帯に分けて考える
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(面積を細長い長方形の集まりと考える):キャベツの千切り
重積分
重積分を使って立体の体積を求めるとき ⇒ x方向y方向に細かくして立体の細長い柱に分けて考える
(体積を細長い直方体の集まりと考える):大根の拍子木切り
![](https://univ-study.net/wp-content/uploads/2018/03/041c8e89b678b46731ac2144bc87c2e7-300x189.png)
三重積分
三重積分を使って立体の体積を求めるとき ⇒ 立方の細長い柱をさらに細かくして立方体に分けて考える
(体積を立方体の集まりと考える);大根のさいの目切り
![](https://univ-study.net/wp-content/uploads/2018/03/5-300x175.png)
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それぞれちゃんと違いがあるんだ!なんかイメージは湧いたかも!
重積分の数学的な定義
1変数関数 \(y=f(x)\) の定積分 \(\int_a^b f(x)dx\) は区間 \([a,b]\) 上の面積を求める際に使われます。これが積分です。
一方で、2変数関数 \(z=f(x,y)\) の積分
\(\iint_D f(x,y)dxdy\)
は平面の領域 \(D\) 上の体積を求める際に使われます。これが重積分です。
重積分には重要な定理がいくつかあるので、確認しておきましょう。
いかがでしたでしょうか。
具体的な計算はまた次の機会にまわします。今回は【積分】【重積分】【三重積分】の区別が出来ればクリアです!
イメージで「面積・体積を細かくして計算を行う」ということがおわかりいただければと思います。
動画解説はこちら