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イラストでわかる二重積分(千切り・拍子木切り・さいの目切り)

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ん?このサイトはいつから料理サイトになったんだ?

さて、本日メニュー・・・もとい、

本日のテーマは二重積分です。二を省略して、重積分と呼ばれることが多いですよ。

【積分】【重積分】【三重積分】

この3つの違いがよくわからない人って多いと思うんですよ。

ここではわかりやすく?料理の切り方に例えてご紹介します。

【積分】【重積分】【三重積分】はイラストを見たら一発で区別できるぞ!

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重積分とは

さて、積分は高校のときに習いましたよね。面積を表すのに使われ、たくさん計算をしてきたのではないでしょうか。

一方、重積分はどんなときに使うかというと・・・

底面が平らな立体の体積

を表すときに使われます。

※底面が平らでないときは、ぶった切れば底面が平らな立体2つにわけて考えることができる。

 

例 \(\iint_D xy dxdy\) , \(D=\){\((x,y)|x^2 \leq y \leq 2x\)} を計算せよ

のようにインテグラルが2つついているものが重積分です。このように体積の計算をするために使われます。

う~ん。立体の体積か。でも三重積分もそんな感じじゃない?

・・・・・・そうだな。じゃあまずは、イメージで捉えてみようか!

ポイント1

積分は千切り、重積分は拍子木切り、三重積分はさいの目切り のイメージ

「いや、そもそもその切り方がわかんないから!」って言われると思うので、イラストを見てイメージを掴んでください。

左から、キャベツの千切り      大根の拍子木切り       大根のさいの目切り です。

積分

積分を使って曲線で囲まれた面積を求めるとき ⇒ x方向に細かくして、に分けて考える

(面積を細長い長方形の集まりと考える):キャベツの千切り

重積分

重積分を使って立体の体積を求めるとき ⇒ x方向y方向に細かくして立体の細長い柱に分けて考える

(体積を細長い直方体の集まりと考える):大根の拍子木切り

三重積分

三重積分を使って立体の体積を求めるとき ⇒ 立方の細長い柱をさらに細かくして立方体に分けて考える

(体積を立方体の集まりと考える);大根のさいの目切り

それぞれちゃんと違いがあるんだ!なんかイメージは湧いたかも!

 

重積分の数学的な定義

1変数関数 \(y=f(x)\) の定積分 \(\int_a^b f(x)dx\) は区間 \([a,b]\) 上の面積を求める際に使われます。これが積分です。

一方で、2変数関数 \(z=f(x,y)\) の積分

\(\iint_D f(x,y)dxdy\)

は平面の領域 \(D\) 上の体積を求める際に使われます。これが重積分です。

重積分には重要な定理がいくつかあるので、確認しておきましょう。

重積分の定理1

\(f(x,y)  ,  g(x,y)\) が \(D\) で積分可能であるとき以下が成り立つ。 (ただし \(α,β\) は定数とする)

(1) \(\iint_D \){\(αf(x,y)+βg(x,y)\)}\(dxdy = α\iint_D f(x,y)dxdy + β\iint_D g(x,y)dxdy\)

(2) \(D\) で \(f(x,y) \leq g(x,y)\) ならば \(\iint_D f(x,y)dxdy \leq \iint_D g(x,y)dxdy\)

(3) \(f(x,y)g(x,y)\) は \(D\) で積分可能である

 

重積分の定理2

\(D = [a,b] × [c,d] \)のとき

\(\iint_D f(x,y)dxdy = \int_a^b (\int_c^d f(x,y)dy)dx = \int_c^d (\int_a^b f(x,y)dx)dy\)

 

いかがでしたでしょうか。

具体的な計算はまた次の機会にまわします。今回は【積分】【重積分】【三重積分】の区別が出来ればクリアです!

イメージで「面積・体積を細かくして計算を行う」ということがおわかりいただければと思います。

 

動画解説はこちら

 

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