イラストでわかる二重積分（千切り・拍子木切り・さいの目切り）

さて、本日メニュー・・・もとい、

本日のテーマは二重積分です。二を省略して、重積分と呼ばれることが多いですよ。

【積分】【重積分】【三重積分】

この３つの違いがよくわからない人って多いと思うんですよ。

ここではわかりやすく？料理の切り方に例えてご紹介します。

重積分とは

さて、積分は高校のときに習いましたよね。面積を表すのに使われ、たくさん計算をしてきたのではないでしょうか。

一方、重積分はどんなときに使うかというと・・・

底面が平らな立体の体積

を表すときに使われます。

※底面が平らでないときは、ぶった切れば底面が平らな立体２つにわけて考えることができる。

例　\(\iint_D xy dxdy\) , \(D=\){\((x,y)|x^2 \leq y \leq 2x\)}　を計算せよ

のようにインテグラルが２つついているものが重積分です。このように体積の計算をするために使われます。

[voicel icon=”https://univ-study.net/wp-content/uploads/2022/05/2205042135.jpg” name=””]う～ん。立体の体積か。でも三重積分もそんな感じじゃない？[/voicel]

[voicer icon=”https://univ-study.net/wp-content/uploads/2022/05/2205042119.jpg” name=””]・・・・・・そうだな。じゃあまずは、イメージで捉えてみようか！[/voicer]

[topic color=”yellow” title=”ポイント１”]

積分は千切り、重積分は拍子木切り、三重積分はさいの目切り　のイメージ[/topic]

「いや、そもそもその切り方がわかんないから！」って言われると思うので、イラストを見てイメージを掴んでください。

左から、キャベツの千切り　　　　　　大根の拍子木切り　　　　　　　大根のさいの目切り　です。

積分

積分を使って曲線で囲まれた面積を求めるとき ⇒ x方向に細かくして、帯に分けて考える

（面積を細長い長方形の集まりと考える）：キャベツの千切り

重積分

重積分を使って立体の体積を求めるとき ⇒ x方向y方向に細かくして立体の細長い柱に分けて考える

（体積を細長い直方体の集まりと考える）：大根の拍子木切り

三重積分

三重積分を使って立体の体積を求めるとき ⇒ 立方の細長い柱をさらに細かくして立方体に分けて考える

（体積を立方体の集まりと考える）；大根のさいの目切り

[voicel icon=”https://univ-study.net/wp-content/uploads/2022/05/2205042131.jpg” name=””]それぞれちゃんと違いがあるんだ！なんかイメージは湧いたかも！[/voicel]

重積分の数学的な定義

１変数関数 \(y=f(x)\) の定積分 \(\int_a^b f(x)dx\) は区間 \([a,b]\) 上の面積を求める際に使われます。これが積分です。

一方で、２変数関数 \(z=f(x,y)\) の積分

\(\iint_D f(x,y)dxdy\)

は平面の領域 \(D\) 上の体積を求める際に使われます。これが重積分です。

重積分には重要な定理がいくつかあるので、確認しておきましょう。

\(f(x,y)  ,  g(x,y)\) が \(D\) で積分可能であるとき以下が成り立つ。 (ただし \(α,β\) は定数とする)

(1)　\(\iint_D \){\(αf(x,y)+βg(x,y)\)}\(dxdy = α\iint_D f(x,y)dxdy + β\iint_D g(x,y)dxdy\)

(2)　\(D\) で \(f(x,y) \leq g(x,y)\) ならば \(\iint_D f(x,y)dxdy \leq \iint_D g(x,y)dxdy\)

(3)　\(f(x,y)g(x,y)\) は \(D\) で積分可能である

\(D = [a,b] × [c,d] \)のとき

\(\iint_D f(x,y)dxdy = \int_a^b (\int_c^d f(x,y)dy)dx = \int_c^d (\int_a^b f(x,y)dx)dy\)

いかがでしたでしょうか。

具体的な計算はまた次の機会にまわします。今回は【積分】【重積分】【三重積分】の区別が出来ればクリアです！

イメージで「面積・体積を細かくして計算を行う」ということがおわかりいただければと思います。

動画解説はこちら