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小学生でもわかる!?テイラー展開のきほん【ついでにマクローリンも】

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テイラー・・・マクローリン・・・なんか面倒くさそう。やりたくねー・・・

ということで、今回のテーマは、

「テイラー展開」・「マクローリン展開」

です。大学数学では有名なテーマであるこは間違いないですね。残念ながら避けて通れる話題ではないでしょう。そして物理学的にも非常に重要となってきます。

でも、心配はいりません。概要については、ぶっちゃけ超簡単ですよ!

テイラー展開は、敵ではない!むしろ計算を簡単にしてくれる味方なんだ!

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テイラー展開とは

テイラー展開とは、無限回微分可能な関数 \(f(x)\) を多項式で近似する方法です。

ポイント1

\(f(x)\)の\(a\)を中心としたテイラー展開は

\(f(x) = f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f”(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots  \)

\(=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\) と表される

 

これは何かというと、計算が複雑化するような場合において、

「だいたいでいいから値教えて!」

ってときに使います。つまり、近似式なんですね。ジャストな値が出る訳ではないですが、結構近い値を求めることができますし、概算でokなときには使い勝手が良い公式なんです。

物理・化学だとニアリーイコール(\(\approx\))ってよく使うよな!そんなイメージだ!

なんかテイラー展開の式は難しそうにみえるけど、これを使うことによってむしろ計算が楽になってるんだ・・・ふーん、知らなかった。

マクローリン展開とは

テイラー展開の意味はなんとなく理解が出来たでしょうか。では、このままマクローリン展開の話を続けてやっちゃいましょう。

ポイント2

マクローリン展開とは

\(f(x)\) の \(0\) を中心としたテイラー展開

のことを指す

なんだ・・・マクローリン展開はテイラー展開の一種だったのか!

そうなんです。つまり、テイラー展開において \(a = 0\) の時を公式化しちゃっただけなんですね。

「なんで \(0\) のときばっかり!」

と思うかもしれませんが、この式がよく使われるからなんです。数学ではよく使う式をどんどん公式にしちゃうんですね。

まぁそもそも数学ってのは、複雑なものをなるべく簡単にできないかなー・・・っていう面倒くさがり(数学者)の最善の思いつきだったりするんだよな。

じゃあ先生もひょっとして面倒くさがり・・・

はい、気を取り直して、マクローリン展開の公式いきます!

ポイント3

マクローリン展開は

\(f(x)= f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f”(0)}{2!}x^2+\cdots  \)

\(=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)

と表される

 

ということで、ただただテイラー展開に \(0\) を代入しただけですね!だからマクローリン展開に関しては、この式を一生懸命覚えようとしなくていいんですよ。だってテイラー展開がわかれば \(0\) を代入するだけでマクローリン展開の公式が出てくるんですから!

 

いかがでしたでしょうか。たぶん思ったよりも簡単でしたよね?知っているだけで結構使える場面が出てくるので、テイラー展開の公式は覚えておきましょう!

 

テイラー展開の図式化と物理との関係性

図を使ったさらに詳しい説明をみたい人はこの動画を参考にしてみてください

(クスッと笑えるので、眠いときに良いかもしれません)

 

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