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【関数別】大学で学ぶ微分積分の公式を徹底的にまとめてみた

 
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大学受験の化学ビジネスで大学生の時に企業する。大学生の時さまざまな怪しいビジネスの商材を購入する中で、人が購入する心理状況を学ぶ。その後オンライン塾やそのほかビジネスで生計を立てる。大学の学習の復習としてサイトを構築しています。大学1年生の時に参考書や教科書を読んでもわからなかったことを噛み砕いて解説しています。

大学生になって一番最初に学習するのが微分積分ですよね。高校生の時と違って大学で初めて学ぶ関数の微分積分が

これらの公式を一覧で見れて、詳しく見られるようにまとめましたので、ぜひこちらのコンテンツを

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逆三角関数の微分積分

アークサインの微分積分

アークサインの微分

\(y=arcsinx\) の微分は \(y’\)=\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

アークサインの積分

\(y=arcsinx\) の積分は

\(\int\)\(arcsinxdx\) = \(x\)\(arcsinx\) + \(\sqrt{1-x^2}\) + \(C\)

アークサインの微分積分の証明など詳しくはこちら

アークコサインの微分積分

アークコサインの微分

\(y=arccosx\) の微分は \(y’\)=\(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

アークコサインの積分

\(y=arccosx\) の積分は

\(\int\)\(arccosxdx\) = \(x\)\(arccosx\) – \(\sqrt{1-x^2}\) + \(C\)

アークタンジェントの微分積分

アークタンジェントの微分

\(y=arctanx\) の微分は \(y’\)=\(\frac{1}{1+x^2}\)

アークタンジェントの積分

\(y=arctanx\) の積分は

\(\int\)\(arctanxdx\) = \(x\)\(arctanx\)\(-\frac{1}{2} log(1+x^2)\)\(+C\)

双曲線関数の微分積分

双曲線関数の微分公式

\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\end{aligned}

ハイパボリックサインやハイパボリックコサインのような双曲線関数の微分に関して個別記事で解説しています。詳しく証明などを知りたい人はこちらの記事をご覧ください。

双曲線関数の積分公式

$$\displaystyle \int \sinh dx=\cosh x+C $$
$$\displaystyle \int \cosh dx=\sinh x+C $$
$$\int \tanh xdx=\log (\cosh x) + C $$

双曲線関数の逆関数の微分

\begin{aligned}\sinh ^{-1}x&=\log \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\cosh ^{-1}x&=\log \left(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right)\\\tanh ^{-1}x&={\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}\end{aligned}
\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh ^{-1}x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh ^{-1}x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh ^{-1}x&={\frac {1}{1-x^{2}}}\end{aligned}

ここまでの双曲線関数に関する微分積分だけでなく、双曲線関数に関する公式を全てまとめた記事は以下の記事から詳しくご覧ください。

重積分

二重積分

2変数関数 \(z=f(x,y)\) の積分

\(\iint_D f(x,y)dxdy\)

は平面の領域 \(D\) 上の体積を求める際に使われます。これが重積分です。

重積分の定理1

\(f(x,y)  ,  g(x,y)\) が \(D\) で積分可能であるとき以下が成り立つ。 (ただし \(α,β\) は定数とする)

(1) \(\iint_D \){\(αf(x,y)+βg(x,y)\)}\(dxdy = α\iint_D f(x,y)dxdy + β\iint_D g(x,y)dxdy\)

(2) \(D\) で \(f(x,y) \leq g(x,y)\) ならば \(\iint_D f(x,y)dxdy \leq \iint_D g(x,y)dxdy\)

(3) \(f(x,y)g(x,y)\) は \(D\) で積分可能である

二重積分に関して切り方に合わせてイラストでわかりやすく解説していますので、こちらの記事を参考にしてみてください。

キャベツの千切り

大根の拍子木切り

大根のさいの目切り

このようなイメージです。こちらを詳しく知りたい方は以下の記事で解説しています。

累次積分

重積分では \(\iint f(x,y) dxdy\) という形を学習しましたね。

累次積分は

 \(\int\){\(\int f(x,y) dx\) } \(dy\)

という形で表されるものです。まず \(x\) で積分して、その後 \(y\) で積分をするという2段構成になっているんです。

ちなみに、重積分において積分区間で連続な関数であれば、累次積分に変形することができます。

累次積分に関する記事はこちら

累次積分とは?超使える重積分の大切な手法

ヤコビアン

重積分の変数変換で使うヤコビアンの公式です。

2変数関数のヤコビアン

2変数関数のヤコビアンは \(\begin{vmatrix} \frac{∂φ}{∂u} & \frac{∂φ}{∂v}\\ \frac{∂ψ}{∂u}&\frac{∂ψ}{∂v}\end{vmatrix}\) と表す

3変数関数のヤコビアン

3変数関数のヤコビアンは \(\begin{vmatrix} \frac{∂φ}{∂u} & \frac{∂φ}{∂v}&\frac{∂φ}{∂w}\\ \frac{∂ψ}{∂u}&\frac{∂ψ}{∂v}&\frac{∂ψ}{∂w}\\ \frac{∂ω}{∂u}&\frac{∂ω}{∂v}&\frac{∂ω}{∂w}\end{vmatrix}\) と表す

ヤコビアンは変数変換で使います。ヤコビアンに関して詳しく知りたい人は以下の記事で証明や偏微分での解説をしています。

ヤコビアンに関して詳しく知りたい方はこちらの記事

ヤコビアンとは?【定義と具体例+覚え方】をす・べ・て紹介します!!

その他微分積分に関する補足知識

周期関数の積分

$$一般にいうとg(x)が偶関数、h(x)が奇関数とするならば、任意の区間[-M, M]の定積分に対して$$

$$\int_{-M}^{M} g(x)h(x) dx = 2\int_{0}^{M}g(x)h(x) dx,$$

$$\int_{-M}^{M}h(x) dx = 0$$

が成り立ちます。

畳み込み積分

畳み込み積分は合成積とも言われて関数の積を求める方法です。

$$f*g(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(y)g(x – y)\diff y$$

こちらの公式で表されます。フーリエ変換でよく出てきます。

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