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ε-δ論法(イプシロンデルタ論法)とは?日本一わかりやすい説明をしてみた!

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理系大学生で大学院に進学するつもりだったものの、大学3年生の時に詐欺に遭いさらに、親がリストラになったので、仕送りが0円になる。借金を返すためにバイト漬けの日々で自分でビジネスをすることに決意し、今では月収100万円を稼いでいる。
ε-δ論法というと「大学の微積の講義で聞いたことはあるけど、あまりよくわかってない…」という方が多いのではないでしょうか。

名前も難しそうだし、教科書を読んでみても初めて見る文字ばかりで理解しにくく、挫折してしまいますよね。

でも実はこれ、そんなに難しい内容じゃないんです。

今回は、理系大学生なら絶対に分かっていないと恥ずかしい、この「ε-δ論法」について分かりやすく解説していきたいと思います!

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極限について

ε-δ論法について解説を始める前に、まずは高校で習った関数の極限について思い出してみて下さい。

高校の教科書には次のように書いてあります。

ある関数 \(f(x)\) について、\(x\) を限りなく \(a\) に近づけたとき、\(f(x)\) の値がある値 \(b\) に限りなく近づくならば、$$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=b$$と書き、\(f(x)\) が \(b\) に収束するという。

 

うーん…

限りなく近づく」という表現がなんともふんわりとしていて、感覚的には分かりやすいのですが、ちょっと数学的ではないですよね。

 

実は、これをより厳密な形で表現して定義したものがε-δ論法なんです!

つまり、ε-δ論法とは極限の定義を厳密に表現したものと言えます。

 

ε-δ論法とは?

それでは今回の本題に入っていきましょう!

まずは教科書的な定義です。

\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=b\) をε-δ論法で書くと、次のようになります。

$$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0 s.t. \forall x\in\mathbb{R}, 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon$$

任意の正の実数 \(\varepsilon\) に対し、ある正の実数 \(\delta\) が存在して、任意の実数 \(x\) に対して \(0<|x-a|<\delta\) ならば \(|f(x)-b|<\varepsilon\) が成り立つ

とても分かりにくいですね…

「数直線上で \(x\) と \(a\) の距離が \(\delta\) 未満ならば \(f(x)\) と \(b\) の距離が \(\varepsilon\) 未満となるような \(\delta\) 」が任意の \(\varepsilon\) に対して存在するということなのですが、これは要するに \(f(x)\) をいくらでも \(b\) に近づけることができるということを主張しています。

これだけだとまだよくわからないと思うので、次で具体例を説明していきます。

 

ε-δ論法の具体例

具体的な例を考えてみましょう。

\(f(x)=2x+1\) について考えます。このとき、次の極限が成立することは自明にわかると思います。

\(\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=1\)

これをε-δ論法を用いて表現するとこうなります(上に述べた定義で \(a=0\) 、\(b=1\) とすればよい)。

$$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0 s.t. \forall x\in\mathbb{R}, 0<|x|<\delta \Rightarrow |f(x)-1|<\varepsilon$$

これが正しいということを示してみましょう。

 

今回考えている関数は \(f(x)=2x+1\) ですから、\(f(x)-1=2x\) となります。

したがって、これはさらに次のように書き換えられます。

$$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0 s.t. \forall x\in\mathbb{R}, 0<|x|<\delta \Rightarrow |2x|<\varepsilon$$

 

\(\varepsilon=1\) のとき、適当な正の実数として \(\displaystyle \frac{1}{3}\) を \(\delta\) に採用してやれば、 \(0<|x|<\delta \Rightarrow |2x|<\varepsilon\) 、すなわち \(0<|x|<\displaystyle \frac{1}{3} \Rightarrow |2x|<1\) は成り立ちます( \(0<|x|<\displaystyle \frac{1}{3}\) ならば、当然 \(|x|<\displaystyle \frac{1}{2}\) は満たしていますよね)。

同様に、\(\varepsilon=0.2\) のとき、\(\delta=0.1\) としてやれば、 \(0<|x|<\delta \Rightarrow |2x|<\varepsilon\) は \(0<|x|<0.1 \Rightarrow |2x|<0.2\) となるので、これも自明に成り立ちます。

 

このように、どんな正の実数 \(\varepsilon\) を持ってきても、 \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}\) 以下の適当な正の実数を \(\delta\) として採用してやれば、この関係は成り立ちます。

つまり、どれだけ小さな \(\varepsilon\) を持ってきても、\(|f(x)-b|<\varepsilon\) を満たすような \(x\) の定義域が(非常に狭くはなるものの)必ず存在するということになり、感覚的に理解していた極限が厳密に定義できています。

 

まとめ

このように、高校数学ではなんとなく感覚的に扱っていた極限をε-δ論法で厳密に定義することによって、より解析的に扱えるようになります。

微分の定義や極値問題など、この先さまざまな分野で必要となってくるため、しっかり理解して身につけておきたいですね。

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