しかし、「ε-Ｎ論法」はその具体的な場合を考えると一気に視界良好となるのです。
その定義が曖昧模糊としていてどこか捉えどころがない「ε-Ｎ論法」ですが、極限を別の角度から定義づけしたものが「ε-Ｎ論法」ということが呑み込めれば、しめたものです。
ここでは大学の微積分の講義の最初でつまずきやすい「ε-Ｎ論法」とは、ということをわかりやすく説明してゆきます。
極限
数列a0,a1,a2……は{an}と表すことは知っていると思いますが、忘れていれば、思い出して下さい。
もしも、数列{an}のnを十分に大きいものとしてそれがaに近づく場合、数列{an}はaに収束するといい、また、aは数列{an}の極限といいます。
これを記号で書くと
| $$\lim_{x→∞} a_n = 0$$ |
となります。
たとえば
| [aside type=”pink”]$$a_n =\frac{1}{n}$$[/aside] |
の場合、
| [aside type=”pink”]$$\lim_{x→∞} a_n = 0$$[/aside] |
となるのはわかりますよね。
つまり、n→∞なれば、分母が∞となり
| [aside type=”pink”]$$a_∞ =\frac{1}{∞} = 0$$[/aside] |
となります。
これがわかれば、「ε-Ｎ論法」の理解に一歩も二歩も前進です。
「ε-Ｎ論法」の定義
| [aside type=”orange”]ε-Ｎ論法の定義
任意の正数εが与えられたとき、ある自然数n0が、
n > n0のとき、|α – an| < ε
となるように選べる。このとき、数列{an}はαへ収束するといいます。[/aside] |
これがいわゆる「ε-Ｎ論法」と呼ばれるものです。
この定義を読んでもピンとこないと思います。
こここで、先ほどの
| $$a_n =\frac{1}{n}$$ |
で具体的に見てゆきます。
「ε-Ｎ論法」を具体例で解説
| $$a_n =\frac{1}{n}$$ |
は0に収束するということは先に見たとおりです。
εは任意の正数とありますので、εは好きなように選んでいいということです。
そこで、εはわかりやすくするためにε = 1とします。
次に、「ある自然数n0が、n > n0のとき、|α – an| < εとなるように選べる」とありますので、n > n0のとき、|0 – an| < ε = 1、つまり、
| [aside type=”pink”]|$$|\frac{1}{n}| < 1$$[/aside] |
となる自然数n0を探せばいいのです。
これはすぐに見つかります。n0 = 2を選びますとnは次のようになるのはわかりますよね。
| [aside type=”pink”]$$n > n_0 = 2 ⇔ \frac{1}{2} > \frac{1}{n}$$[/aside] |
最初に、
| [aside type=”orange”]$$a_n =\frac{1}{n}$$[/aside] |
と定義していたことを思い出してください。
ここまでくればあと一息です。
| [aside type=”orange”]$$|0 － \frac{1}{n}| = \frac{1}{n} < \frac{1}{2} < 1$$[/aside] |
となるのはわかりますでしょうか。
まだ、わからないという人もいると思いますので、εの値を変えてみて同じことを行ってみます。
ε = 0.1としたとします。すると
| $$n_0 = 100$$ |
を選べば「ε-Ｎ論法」が成り立つことがわかります。つまり、
| [aside type=”pink”]$$n > n_0 ⇔ \frac{1}{100} > \frac{1}{n}$$[/aside] |
となる自然数nで、
| [aside type=”pink”]$$|0 － \frac{1}{n}| = \frac{1}{n} < \frac{1}{100} < 0.1$$[/aside] |
が成り立つのがわかると思いますが、どうでしょうか。
そして、ここがポイントなのですが、ε-Ｎ論法はここで終わりではないのです。
上記のような作業を延々と続けてゆき、n > n0で
| [aside type=”orange”]$$|α － a_0| < ε$$[/aside] |
が成り立つn0がいつも存在するとき、数列{an}がαに収束するといえるのです。
まとめ
大学に入って微積分の講義ですぐに登場する「ε-Ｎ論法」ですが、よく理解しないままの状態でうろ覚えのまま、微積分の講義を終えるということは少なくありません。
しかし、極限の収束という数学の基本をよりよく理解するには「ε-Ｎ論法」を理解することが大切です。
なにも少しも難しいことは「ε-Ｎ論法」は定義していないのです。
ポイントは同じ作業を延々とすると収束するということにあります。ここさえおさえておけば、「ε-Ｎ論法」は攻略したことになるのです。
