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ε-N論法(イプシロンエヌ論法)とは?日本一わかりやすい説明をしてみた!

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浪人の末に後期試験で男だらけの工業大学に進学した。勉強はほどほどにサークルで女子と楽しい大学生活を送ると思いきや、まともに話せずに1年間女子話さずに童貞を継続。「このままでは一生童貞だ」と思い大学1年の春に、、、
大学の微積分の講義の初めに出てくる「ε-N論法」がわからずに、それ以降の微積分の講義がさっぱりわからないという人は意外と多いのです。

 

しかし、「ε-N論法」はその具体的な場合を考えると一気に視界良好となるのです。

 

その定義が曖昧模糊としていてどこか捉えどころがない「ε-N論法」ですが、極限を別の角度から定義づけしたものが「ε-N論法」ということが呑み込めれば、しめたものです。

 

ここでは大学の微積分の講義の最初でつまずきやすい「ε-N論法」とは、ということをわかりやすく説明してゆきます。

 

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極限

 

数列a0,a1,a2……は{an}と表すことは知っていると思いますが、忘れていれば、思い出して下さい。

 

もしも、数列{an}のnを十分に大きいものとしてそれがaに近づく場合、数列{an}はaに収束するといい、また、aは数列{an}の極限といいます。

 

これを記号で書くと

 

$$\lim_{x→∞} a_n = 0$$

 

となります。

 

たとえば

$$a_n =\frac{1}{n}$$

の場合、

$$\lim_{x→∞} a_n = 0$$

となるのはわかりますよね。

 

つまり、n→∞なれば、分母が∞となり

$$a_∞ =\frac{1}{∞} = 0$$

となります。

 

これがわかれば、「ε-N論法」の理解に一歩も二歩も前進です。

 

「ε-N論法」の定義

 

ε-N論法の定義

任意の正数εが与えられたとき、ある自然数n0が、

 

n > n0のとき、|α – an| < ε

 

となるように選べる。このとき、数列{an}はαへ収束するといいます。

 

これがいわゆる「ε-N論法」と呼ばれるものです。

 

この定義を読んでもピンとこないと思います。

 

こここで、先ほどの

 

$$a_n =\frac{1}{n}$$

 

で具体的に見てゆきます。

 

「ε-N論法」を具体例で解説

 

$$a_n =\frac{1}{n}$$

 

は0に収束するということは先に見たとおりです。

 

εは任意の正数とありますので、εは好きなように選んでいいということです。

 

そこで、εはわかりやすくするためにε = 1とします。

 

次に、「ある自然数n0が、n > n0のとき、|α – an| < εとなるように選べる」とありますので、n > n0のとき、|0 – an| < ε = 1、つまり、

|$$|\frac{1}{n}| < 1$$

となる自然数n0を探せばいいのです。

 

これはすぐに見つかります。n0 = 2を選びますとnは次のようになるのはわかりますよね。

$$n > n_0 = 2 ⇔ \frac{1}{2} > \frac{1}{n}$$

最初に、

$$a_n =\frac{1}{n}$$

と定義していたことを思い出してください。

 

ここまでくればあと一息です。

$$|0 - \frac{1}{n}| = \frac{1}{n} < \frac{1}{2} < 1$$

となるのはわかりますでしょうか。

 

まだ、わからないという人もいると思いますので、εの値を変えてみて同じことを行ってみます。

ε = 0.1としたとします。すると

$$n_0 = 100$$

を選べば「ε-N論法」が成り立つことがわかります。つまり、

$$n > n_0 ⇔ \frac{1}{100} > \frac{1}{n}$$

となる自然数nで、

$$|0 - \frac{1}{n}| = \frac{1}{n} < \frac{1}{100} < 0.1$$

が成り立つのがわかると思いますが、どうでしょうか。

 

そして、ここがポイントなのですが、ε-N論法はここで終わりではないのです。

 

上記のような作業を延々と続けてゆき、n > n0

$$|α - a_0| < ε$$

が成り立つn0がいつも存在するとき、数列{an}がαに収束するといえるのです。

 

まとめ

大学に入って微積分の講義ですぐに登場する「ε-N論法」ですが、よく理解しないままの状態でうろ覚えのまま、微積分の講義を終えるということは少なくありません。

 

しかし、極限の収束という数学の基本をよりよく理解するには「ε-N論法」を理解することが大切です。

 

なにも少しも難しいことは「ε-N論法」は定義していないのです。

 

ポイントは同じ作業を延々とすると収束するということにあります。ここさえおさえておけば、「ε-N論法」は攻略したことになるのです。

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