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ヤコビアンとは?【定義と具体例+覚え方】をす・べ・て紹介します!!

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ヤコビアンって聞いたことあるけど・・・一体なにものなんだろう??

ヤコビアンは、重積分の変数変換時に使われる大切要素だ。必ず習得しよう!

今回のテーマは「ヤコビアン」です。

微分積分学では必ずと言ってよいほど扱われる内容ですね!定義や意味をまとめておいたので、是非確認していってください。

 

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ヤコビアンとは

ヤコビアンとは、変数変換に伴う面積要素や体積要素の無限小変化の比率を符号つきで表すものであり、簡単にいうと変換の拡大率を表す数量なのです。

2×2行列を変数 \((x,y)\) を変数 \((u,v)\) で表した変数変換をヤコビ行列、その行列式をヤコビアンと呼びます。

ヤコビ行列は、1変数のときには、微分係数は関数の一次近似(の接線の傾き)という意味があり、多変数のときには、接線の傾きに値します。

 

2変数関数のヤコビアン

ポイント1

2変数関数のヤコビアンは \(\begin{vmatrix} \frac{∂φ}{∂u} & \frac{∂φ}{∂v}\\ \frac{∂ψ}{∂u}&\frac{∂ψ}{∂v}\end{vmatrix}\) と表す

 

\(x=φ(u,v)\) , \(y=ψ(u,v)\) とし、\(φ,ψ\) は \(u,v\) で偏微分可能であるとすると、

\(x,y\) の全微分は、

\(dx=\frac{∂φ}{∂u}du+\frac{∂φ}{∂v}dv\)

\(dy=\frac{∂ψ}{∂u}du+\frac{∂φ}{∂v}dv\)

と表されます。これを行列を用いて表すと、

\(\begin{pmatrix}dx\\dy \end{pmatrix}=\)\(\begin{pmatrix} \frac{∂φ}{∂u} & \frac{∂φ}{∂v}\\ \frac{∂ψ}{∂u}&\frac{∂ψ}{∂v}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}du\\dv \end{pmatrix}\)

となります。

よって、この行列\(\begin{pmatrix} \frac{∂φ}{∂u} & \frac{∂φ}{∂v}\\ \frac{∂ψ}{∂u}&\frac{∂ψ}{∂v}\end{pmatrix}\)の行列式

\(\begin{vmatrix} \frac{∂φ}{∂u} & \frac{∂φ}{∂v}\\ \frac{∂ψ}{∂u}&\frac{∂ψ}{∂v}\end{vmatrix}\)

を2変数関数のヤコビアンといいます。

具体例
二次元極座標に当てはめてみると、変換式は \(x=rcosθ, y=rsinθ\) でしたので、

ヤコビ行列は \(\begin{pmatrix} \frac{∂φ}{∂u} & \frac{∂φ}{∂v}\\ \frac{∂ψ}{∂u}&\frac{∂ψ}{∂v}\end{pmatrix}=\)\(\begin{pmatrix} cosθ&  -rsinθ\\sinθ&rcosθ\end{pmatrix}\)

ヤコビアンは \(\begin{vmatrix} cosθ&  -rsinθ\\sinθ&rcosθ\end{vmatrix}=r\)

と表される。

 

3変数関数のヤコビアン

ポイント2

3変数関数のヤコビアンは \(\begin{vmatrix} \frac{∂φ}{∂u} & \frac{∂φ}{∂v}&\frac{∂φ}{∂w}\\ \frac{∂ψ}{∂u}&\frac{∂ψ}{∂v}&\frac{∂ψ}{∂w}\\ \frac{∂ω}{∂u}&\frac{∂ω}{∂v}&\frac{∂ω}{∂w}\end{vmatrix}\) と表す

 

\(x=φ(u,v,w\) , \(y=ψ(u,v,w)\) , \(z=ω(u,v,w)\)とし、\(φ,ψ,ω\)で偏微分可能とすると、\(x,y,z\) の全微分は、

\(dx=\frac{∂φ}{∂u}du+\frac{∂φ}{∂v}dv+\frac{∂φ}{∂w}dw\)

\(dy=\frac{∂ψ}{∂u}du+\frac{∂ψ}{∂v}dv+\frac{∂ψ}{∂w}dw\)

\(dz=\frac{∂ω}{∂u}du+\frac{∂ω}{∂v}dv+\frac{∂ω}{∂w}dw\)

と表されます。これを行列を用いて表すと、

\(\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz \end{pmatrix}=\)\(\begin{pmatrix} \frac{∂φ}{∂u} & \frac{∂φ}{∂v}&\frac{∂φ}{∂w}\\ \frac{∂ψ}{∂u}&\frac{∂ψ}{∂v}&\frac{∂ψ}{∂w}\\ \frac{∂ω}{∂u}&\frac{∂ω}{∂v}&\frac{∂ω}{∂w}\end{pmatrix}\)\(\begin{pmatrix}du\\dv\\dw \end{pmatrix}\)

となります。

よって、この行列\(\begin{pmatrix} \frac{∂φ}{∂u} & \frac{∂φ}{∂v}&\frac{∂φ}{∂w}\\ \frac{∂ψ}{∂u}&\frac{∂ψ}{∂v}&\frac{∂ψ}{∂w}\\ \frac{∂ω}{∂u}&\frac{∂ω}{∂v}&\frac{∂ω}{∂w}\end{pmatrix}\)の行列式

\(\begin{vmatrix} \frac{∂φ}{∂u} & \frac{∂φ}{∂v}&\frac{∂φ}{∂w}\\ \frac{∂ψ}{∂u}&\frac{∂ψ}{∂v}&\frac{∂ψ}{∂w}\\ \frac{∂ω}{∂u}&\frac{∂ω}{∂v}&\frac{∂ω}{∂w}\end{vmatrix}\)

を3変数関数のヤコビアンといいます。

具体例
三次元極座標に当てはめてみると、変換式は \(x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθ\) でしたので、

ヤコビ行列は \(\begin{pmatrix} \frac{∂φ}{∂u} & \frac{∂φ}{∂v}&\frac{∂φ}{∂w}\\ \frac{∂ψ}{∂u}&\frac{∂ψ}{∂v}&\frac{∂ψ}{∂w}\\ \frac{∂ω}{∂u}&\frac{∂ω}{∂v}&\frac{∂ω}{∂w}\end{pmatrix}=\)\(\begin{pmatrix} sinθcosφ&rcosθcosφ & -rsinθsinφ\\sinθsinφ&rcosθsinφ&rsinθcosφ\\cosθ& -rsinθ&0\end{pmatrix}\)

ヤコビアンは \(\begin{vmatrix} sinθcosφ&rcosθcosφ & -rsinθsinφ\\sinθsinφ&rcosθsinφ&rsinθcosφ\\cosθ& -rsinθ&0\end{vmatrix}=r^2 sinθ\)

と表される。

行列を使うことで、高校で習った置換積分なんかよりもずっと計算が楽になっているはずだ。

重積分するときの変数の組を別の組に置き換えることでうまくいくんだね。

ヤコビアンって覚えるのちょっと面倒ですよね・・・

そんなヤコビアンをすぐに覚えられる方法をこちらの動画で紹介しています

 

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