[voicel icon=”https://univ-study.net/wp-content/uploads/2022/05/2205042133.jpg” name=””]sin とか cosってなんか苦手なんだよなぁ・・・しかもマクローリンって・・・[/voicel]
なんだか面倒くさそうなワードが並ぶとやる気なくなってきてしまいますね。でも、考えすぎないでください！
「 sin のマクローリン展開」というのは、なんのこっちゃと思うかもしれませんが、ただ単に、
\(f(x)=sinx\)
の場合でのマクローリン展開のことを指しているだけなんです。
sin のマクローリン展開の公式
公式もマクローリン展開の公式に \(f(x)=sinx\) を対応させて計算した結果をまとめただけなんです。
まずはその公式から紹介します。
[topic color=”yellow” title=”ポイント１”]\(sinx\) のマクローリン展開は \(sinx = \frac{1}{1!}x – \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 – \cdots \) と表される[/topic]
ちなみに証明も超がつくほど簡単です。
超がつくほど簡単な証明
さて、まずはマクローリン展開の復習からいきましょう。マクローリン展開の公式は
\(f(x)= f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots \)
と表されることを以前勉強しましたね。
それではこの式に、\(f(x)=sinx\) を対応させていきましょう。
\(f(x)=sinx\) より \(f(0)=sin0=0\)
\(f'(x)=cosx\) より \(f'(0)=cos0=1\)
\(f^{\prime\prime}(x)=-sinx\) より \(f^{\prime\prime}(0)=-sin0=0\)
\(f^{\prime\prime\prime}(x)=-cosx\) より \(f^{\prime\prime\prime}(0)=-cos0=-1\)
\(f^{(4)} (x)=sinx\) より \(f^{(4)} (0)=sin0=0\)
と４階微分までしてみると、循環することがわかります。以下は繰り返しで、\(m=0,1,2 \cdots\)において
- \(n=2m\) のとき \(f^{(n)} (0)=0\)
- \(n=4m+1\) のとき \(f^{(n)} (0)=1\)
- \(n=4m+3\) のとき \(f^{(n)} (0)=-1\)
となるため、マクローリン展開の公式に代入すると、
\(f(x) = sinx = 0 + \frac{1}{1!} x + \frac{0}{2!} x^2 + \frac{-1}{3!} x^3 + \frac{0}{4!} x^4 + \frac{1}{5!} x^5 + \cdots\)
式を整理すると、\(sinx = \frac{1}{1!}x – \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 – \cdots \) となるため証明終了。
[voicer icon=”https://univ-study.net/wp-content/uploads/2022/05/2205042119.jpg” name=””]証明で使うのは、高校で習った内容ばかりだ。思ったより簡単だっただろ！[/voicer]
cos のマクローリン展開の公式
「 cos のマクローリン展開」というのも、「 sin のマクローリン展開」と同様にただ単に、
\(f(x)=cosx\)
の場合でのマクローリン展開のことを指しています。つまり、マクローリン展開の公式に \(f(x)=cosx\) を対応させただけなんですね。
[topic color=”yellow” title=”ポイント２”]\(cosx\) のマクローリン展開は \(cosx = 1-\frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!} x^4 – \cdots \) と表される[/topic]
こちらの証明も超がつくほど簡単で sin のときと方針が一緒なのですぐできますよ。
超がつくほど簡単な証明
それではsinのときと同様に、マクローリン展開の公式に、\(f(x)=cosx\) を対応させていきましょう。
\(f(x)=cosx\) より \(f(0)=cos0=1\)
\(f'(x)=-sinx\) より \(f'(0)=-sin0=0\)
\(f^{\prime\prime}(x)=-cosx\) より \(f^{\prime\prime}(0)=-cos0=-1\)
\(f^{\prime\prime\prime}(x)=sinx\) より \(f^{\prime\prime\prime}(0)=sin0=0\)
\(f^{(4)} (x)=cosx\) より \(f^{(4)} (0)=cos0=1\)
と４階微分までしてみると、循環することがわかります。以下は繰り返しで、\(m=0,1,2 \cdots\)において
- \(n=2m+1\) のとき \(f^{(n)} (0)=0\)
- \(n=4m\) のとき \(f^{(n)} (0)=1\)
- \(n=4m+2\) のとき \(f^{(n)} (0)=-1\)
となるため、マクローリン展開の公式に代入すると、
\(f(x) = cosx = 1 + \frac{0}{1!} x – \frac{1}{2!} x^2 + \frac{0}{3!} x^3 – \frac{1}{4!} x^4 + \frac{0}{5!} x^5 – \cdots\)
式を整理すると、\(cosx = 1-\frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!} x^4 – \cdots \) となるため証明終了。
[voicel icon=”https://univ-study.net/wp-content/uploads/2022/05/2205042138.jpg” name=””]なんか思ったより簡単だったかも！これならいけるぞーーー！！[/voicel]
[voicer icon=”https://univ-study.net/wp-content/uploads/2022/05/2205042118.jpg” name=””]
ちなみに公式はちゃんと第３項まで覚えるんだぞ！
もちろん第３項までは省略せずかくこと！！
[/voicer]
はい、そうでしたね！これは結構重要なことなんです。詳しくは
をみてくださいね。
図形的にみたい方はこちらの動画を参考にしてみてください
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