理系大学生が勉強でつまるところや悩むところを大学の100倍わかりやすく解説するサイトです。ぜひ拡散お願いします。大学生活を楽しむために必要なことを徹底的に解説しています。

超がつくほど簡単!sin・cos のマクローリン展開【公式・証明】

アバター
WRITER
 
この記事を書いている人 - WRITER -
アバター

sin とか cosってなんか苦手なんだよなぁ・・・しかもマクローリンって・・・

なんだか面倒くさそうなワードが並ぶとやる気なくなってきてしまいますね。でも、考えすぎないでください!

「 sin のマクローリン展開」というのは、なんのこっちゃと思うかもしれませんが、ただ単に、

\(f(x)=sinx\) 

の場合でのマクローリン展開のことを指しているだけなんです。

 

スポンサーリンク

sin のマクローリン展開の公式

公式もマクローリン展開の公式に \(f(x)=sinx\) を対応させて計算した結果をまとめただけなんです。

まずはその公式から紹介します。

ポイント1

\(sinx\) のマクローリン展開は \(sinx = \frac{1}{1!}x   –  \frac{1}{3!} x^3  + \frac{1}{5!} x^5   – \cdots \) と表される

 

ちなみに証明も超がつくほど簡単です。

超がつくほど簡単な証明

さて、まずはマクローリン展開の復習からいきましょう。マクローリン展開の公式

\(f(x)= f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots  \)

と表されることを以前勉強しましたね。

それではこの式に、\(f(x)=sinx\) を対応させていきましょう。

\(f(x)=sinx\) より \(f(0)=sin0=0\)

\(f'(x)=cosx\) より \(f'(0)=cos0=1\)

\(f^{\prime\prime}(x)=-sinx\) より \(f^{\prime\prime}(0)=-sin0=0\)

\(f^{\prime\prime\prime}(x)=-cosx\) より \(f^{\prime\prime\prime}(0)=-cos0=-1\)

\(f^{(4)} (x)=sinx\) より \(f^{(4)} (0)=sin0=0\)

と4階微分までしてみると、循環することがわかります。以下は繰り返しで、\(m=0,1,2 \cdots\)において

  • \(n=2m\)         のとき    \(f^{(n)} (0)=0\)
  • \(n=4m+1\) のとき    \(f^{(n)} (0)=1\)
  • \(n=4m+3\) のとき   \(f^{(n)} (0)=-1\)

となるため、マクローリン展開の公式に代入すると、

\(f(x) = sinx = 0 + \frac{1}{1!} x + \frac{0}{2!} x^2 + \frac{-1}{3!} x^3 + \frac{0}{4!} x^4 + \frac{1}{5!} x^5 + \cdots\)

式を整理すると、\(sinx = \frac{1}{1!}x   –  \frac{1}{3!} x^3  + \frac{1}{5!} x^5   – \cdots \) となるため証明終了。

 

証明で使うのは、高校で習った内容ばかりだ。思ったより簡単だっただろ!

 

cos のマクローリン展開の公式

 

「 cos のマクローリン展開」というのも、「 sin のマクローリン展開」と同様にただ単に、

\(f(x)=cosx\) 

の場合でのマクローリン展開のことを指しています。つまり、マクローリン展開の公式に \(f(x)=cosx\)  を対応させただけなんですね。

ポイント2

\(cosx\) のマクローリン展開は \(cosx = 1-\frac{1}{2!}x^2  + \frac{1}{4!} x^4   – \cdots \) と表される

 

こちらの証明も超がつくほど簡単で sin のときと方針が一緒なのですぐできますよ。

超がつくほど簡単な証明

 

それではsinのときと同様に、マクローリン展開の公式に、\(f(x)=cosx\) を対応させていきましょう。

\(f(x)=cosx\) より \(f(0)=cos0=1\)

\(f'(x)=-sinx\) より \(f'(0)=-sin0=0\)

\(f^{\prime\prime}(x)=-cosx\) より \(f^{\prime\prime}(0)=-cos0=-1\)

\(f^{\prime\prime\prime}(x)=sinx\) より \(f^{\prime\prime\prime}(0)=sin0=0\)

\(f^{(4)} (x)=cosx\) より \(f^{(4)} (0)=cos0=1\)

と4階微分までしてみると、循環することがわかります。以下は繰り返しで、\(m=0,1,2 \cdots\)において

  • \(n=2m+1\)  のとき  \(f^{(n)} (0)=0\)
  • \(n=4m\)    のとき       \(f^{(n)} (0)=1\)
  • \(n=4m+2\)  のとき   \(f^{(n)} (0)=-1\)

となるため、マクローリン展開の公式に代入すると、

\(f(x) = cosx = 1 + \frac{0}{1!} x – \frac{1}{2!} x^2 + \frac{0}{3!} x^3 – \frac{1}{4!} x^4 + \frac{0}{5!} x^5 – \cdots\)

式を整理すると、\(cosx = 1-\frac{1}{2!}x^2  + \frac{1}{4!} x^4   – \cdots \) となるため証明終了。

 

なんか思ったより簡単だったかも!これならいけるぞーーー!!

ちなみに公式はちゃんと第3項まで覚えるんだぞ!

もちろん第3項までは省略せずかくこと!!

はい、そうでしたね!これは結構重要なことなんです。詳しくは

をみてくださいね。

 

図形的にみたい方はこちらの動画を参考にしてみてください

 

この記事を書いている人 - WRITER -
アバター

- Comments -

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください

Copyright© 理系大学生の数学駆け込み寺 , 2018 All Rights Reserved.