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偏微分の具体的な計算方法を詳しく!【基礎計算とシュワルツの定理】

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前回は偏微分の定義・公式を学習しました。

今回は、実際に具体的な計算を見てみましょう。また、重要な定理も出てくるので、最後までしっかり読んでくださいね。

参考ページ

前回の内容はこちら:偏微分の定義と公式【基礎から丁寧に学ぼう!】

偏微分が何かわからない人は、基礎から確認していこう!

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偏微分の計算方法

それではさっそく、実際に具体的な計算例を見てみましょう。

例 \(f(x,y)=x^3+y^2+5xy+x\) のとき

\(x\) に関する偏微分は \(f_x=3x^2+5y+1\)

\(y\) に関する偏微分は \(f_y=2y+5x\)

である。

なんだ。やり方は1変数関数の微分と同じじゃん!楽勝楽勝!

ちなみに、\(f_{xy} = \frac{∂^2 f}{∂y∂x}=\frac{∂}{∂y}(\frac{∂f}{∂x})\) と \(f_{yx} =\frac{∂^2 f}{∂x∂y}=\frac{∂}{∂x}(\frac{∂f}{∂y})\) も求めてみましょう。

\(f_{xy}=\frac{∂}{∂y}(3x^2+5y+1)=5\)

\(f_{yx}=\frac{∂}{∂x}(2y+5x)=5\)

お、たまたま答えが同じになったなぁ・・・

ちょっと待て。これはたまたまではないぞ!シュワルツの定理を知らないのか?

ん?しゅわるつのていり・・・なんだそれ?

はい、そうなんですね。今回の計算はたまたま答えが同じになったわけではなく、実はシュワルツの定理というものが存在していて、片方計算すればもう片方も同じになることがわかっているんですね。

 

シュワルツの定理

それでは、シュワルツの定理をみてみましょう。

ポイント1

関数 \(f\) の偏導関数について\(f_{xy} = \frac{∂^2 f}{∂y∂x}=\frac{∂}{∂y}(\frac{∂f}{∂x})\) と\(f_{yx} =\frac{∂^2 f}{∂x∂y}=\frac{∂}{∂x}(\frac{∂f}{∂y})\)

の両方が存在して、ともに連続であるならば

\(f_{xy} = f_{yx} (\frac{∂^2 f}{∂y∂x}=\frac{∂^2 f}{∂x∂y})\)

つまり、条件さえ満たせば、偏微分の順序を交換することが可能なんだ。

ここで1つ例を見てみましょう。

例 \(f(x,y)=5x^2 +4xy\) について、\(f_{xy}\) , \(f_{yx}\) をそれぞれ求めよ。

① \(f_{xy} = \frac{∂^2 f}{∂y∂x}=\frac{∂}{∂y}(\frac{∂f}{∂x})\)を求める

\(f_{xy}=\frac{∂}{∂y} (10x+4y)=\)4

② \(f_{yx} =\frac{∂^2 f}{∂x∂y}=\frac{∂}{∂x}(\frac{∂f}{∂y})\)を求める

 \(f_{xy}=\frac{∂}{∂x} (4x)=\)4

あっ!ちゃんと同じ値になった。なるほど、確かに \(f(x,y)=5x^2 +4xy\) は連続な関数だからシュワルツの定理が使えるんだ!

ということで、これはかなり使える定理なので、是非頭に入れておいてくださいね。

順序を交換できるというのは、簡単に計算出来る方面から計算をすることが出来る、といったことに意義がある!ガンガン活用していこう!

さらにたくさんの計算例をみたい人は、こちらを参考にしてみてください

 

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