偏微分ってたくさん記号が出てくるし、微分との違いもわからないよ・・・
記号は、実は同じことを表しているだけなんだ。偏微分の定義は結構簡単だぞ
今回のテーマは偏微分とその公式です。
まずは偏微分とは何かを知り、公式もしっかり確認しておきましょう。
偏微分とは
まずは、偏微分の定義からみていきましょう。
\(n\) 変数関数 \(z=f(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n)\) について、ある１つの変数 \(x_i\) 以外の値を固定することで
変数 \(x_i\) だけについて\(f\) を微分すること
を\(f\) の\(x_i\) に関する偏微分という
また、偏微分によって得られる微分係数と導関数のことをそれぞれ変数 \(x_i\) に関する偏微分係数、偏導関数といいます。
高校数学では関数 \(f\) が１つの変数 \(x\) を指定することで値が定まる１変数関数 \(f=f(x)\) であることが多かったですよね。しかし、決して関数の変数は１つであるとは限らないですよね。特に物理学関係では、２つ以上を扱うことが多くなります。
大学数学では数学に限らず、物理学などの分野でも使えるように偏微分を学習します。
偏微分の記号
偏微分の表し方は、いくつかあります。
- 関数 \(z=f(x,y)\) を \(x\) で偏微分した偏導関数を、次の記号で表す。
①\(f_x\) ② \(f_x (x,y)\) ③ \(z_x\) ④ \(\frac{∂f}{∂x} (x,y)\) ⑤ \(\frac{∂z}{∂x}\)
たくさん記号があると思ってたけど、全部同じ意味だったんだ！
偏微分の公式
\(k\) を実数とし、関数 \(f(x,y) , g(x,y)\) がそれぞれ偏導関数をもつとき、偏微分について
以下の性質が成り立つ。
（ⅰ）\((kf_x)=kf_x\)
（ⅱ）\((f±g)_x = f_x ± g_x\)
（ⅲ）\((f\cdot g)_x =f_x \cdot g+f \cdot g_x\)
（ⅳ）\((\frac{f}{g})_x=\frac{f_x \cdot g -f\cdot g_x}{g^2}\)
割と今までやってきた微分と法則は変わらないはずだ。この公式は必ず頭に入れておこう！！
次回は、具体的に計算例をやっていきたいと思います。公式の使い方を知りたい方は、次のページを読んでくださいね。
図形イメージをみたい方はこちらを参考にしてみてください
