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偏微分の定義と公式【基礎から丁寧に学ぼう!】

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偏微分ってたくさん記号が出てくるし、微分との違いもわからないよ・・・

記号は、実は同じことを表しているだけなんだ。偏微分の定義は結構簡単だぞ

今回のテーマは偏微分とその公式です。

まずは偏微分とは何かを知り、公式もしっかり確認しておきましょう。

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偏微分とは

まずは、偏微分の定義からみていきましょう。

ポイント1

\(n\) 変数関数 \(z=f(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n)\) について、ある1つの変数 \(x_i\) 以外の値を固定することで

変数 \(x_i\) だけについて\(f\) を微分すること

を\(f\) の\(x_i\) に関する偏微分という

また、偏微分によって得られる微分係数と導関数のことをそれぞれ変数 \(x_i\) に関する偏微分係数偏導関数といいます。

高校数学では関数 \(f\) が1つの変数 \(x\) を指定することで値が定まる1変数関数 \(f=f(x)\) であることが多かったですよね。しかし、決して関数の変数は1つであるとは限らないですよね。特に物理学関係では、2つ以上を扱うことが多くなります。

大学数学では数学に限らず、物理学などの分野でも使えるように偏微分を学習します。

 

偏微分の記号

偏微分の表し方は、いくつかあります。

  • 関数 \(z=f(x,y)\) を \(x\) で偏微分した偏導関数を、次の記号で表す。

①\(f_x\)  ② \(f_x (x,y)\)  ③ \(z_x\)  ④ \(\frac{∂f}{∂x} (x,y)\)  ⑤ \(\frac{∂z}{∂x}\)

たくさん記号があると思ってたけど、全部同じ意味だったんだ!

 

偏微分の公式

ポイント2

\(k\) を実数とし、関数 \(f(x,y) , g(x,y)\) がそれぞれ偏導関数をもつとき、偏微分について

以下の性質が成り立つ。

(ⅰ)\((kf_x)=kf_x\)

(ⅱ)\((f±g)_x = f_x ± g_x\)

(ⅲ)\((f\cdot g)_x =f_x \cdot g+f \cdot g_x\)

(ⅳ)\((\frac{f}{g})_x=\frac{f_x \cdot g -f\cdot g_x}{g^2}\)

割と今までやってきた微分と法則は変わらないはずだ。この公式は必ず頭に入れておこう!!

次回は、具体的に計算例をやっていきたいと思います。公式の使い方を知りたい方は、次のページを読んでくださいね。

 

図形イメージをみたい方はこちらを参考にしてみてください

 

 

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