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理系大学生の数学駆け込み寺

猿でもわかるフーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数

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浪人の末に後期試験で男だらけの工業大学に進学した。勉強はほどほどにサークルで女子と楽しい大学生活を送ると思いきや、まともに話せずに1年間女子話さずに童貞を継続。「このままでは一生童貞だ」と思い大学1年の春に、、、

フーリエ級数からフーリエ余弦係数とフーリエ正弦係数はすぐに求められるのですが、覚えていますか。偶関数と奇関数の性質を利用してフーリエ級数から求められるのでしたね。といっても、すっかりと忘れてしまった人もいると思いますので、ここではフーリエ余弦係数とフーリエ正弦係数の確認をしてみた、ということで、いま一度フーリエ係数について振り返ってみます。

すっかり忘れちゃったなあ

理系大学生ケイスケ

フーリエ級数がわかれば、フーリエ余弦係数とフーリエ正弦係数は本当にすぐに求められます。まず、偶関数と奇関数を振り返って、フーリエ級数からフーリエ余弦係数とフーリエ正弦係数を求めようと思います。

本当に? そんなに簡単だったかな

理系大学生ケイスケ

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偶関数と奇関数

偶関数と奇関数を思い出しましょう。偶関数と奇関数は非常に簡単でしたね。

 

$$f(-x) = f(x)が偶関数 \\ f(-x) = -f(x)が奇関数でしたね。$$

 

そして、$$aを定数としてcos\,axは偶関数、sin\,axが奇関数でしたね。$$

 

そこで偶関数と奇関数の関係性がとても重要でした。それは次のような関係です。ここから重要な関係式が導き出されます。一般に$$g(x)を偶関数、h(x)を奇関数として、任意の区間[-M, M]での定積分では、$$

 

$$\int_{-M}^{M}g(x)\,dx = 2\int_{0}^{M} g(x) dx,\,\int_{-M}^{M}h(x)dx = 0$$

 

でしたね。それともう一つ重要な偶関数と奇関数の関係性があります。

 

$$偶関数\times 偶関数 = 偶関数 \\ 偶関数\times 奇関数 = 奇関数 \\ 奇関数\times 奇関数 = 偶関数$$

 

これさえ押さえていれば、もうフーリエ余弦係数とフーリエ正弦係数へはひとっ飛びです。周期2Lとしたフーリエ級数は次のとおりでしたね。

 

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_ncos\frac{n\pi x}{L} + b_nsin\frac{n\pi x}{L}\right)$$

 

ふむふむ、あっ、そうか!

理系大学生ケイスケ

 

もうわかったね。

先生

 

フーリエ余弦係数

フーリエ級数で、$$f(x)$$偶関数または奇関数であるならば、フーリエ係数$$a_n,\,b_n$$はどちらか一方が0になります。

 

これがポイントだったね。

先生

 

$$f(x)が偶関数ならばb_nの項はf(x)sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)が奇関数ですので、$$

 

$$b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx = 0$$

 

このことから周期2Lの偶関数f(x)のフーリエ級数は、cosの項のみ残り

 

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_ncos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \\ a_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx   (n = 0, 1, 2, \cdots)$$

 

これがフーリエ余弦係数です。もうここまでくれば、フーリエ正弦係数はわかるね。

先生

 

フーリエ正弦係数

$$f(x)が奇関数ならば、a_nの項のf(x)cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)は奇関数ですので、$$

 

$$a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx = 0$$

 

このことより周期2Lの奇関数f(x)のフーリエ級数はsinの項のみ残り

 

$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}b_nsin\left(\frac{n\pi xz}{L}\right) \\ b_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx (n = 1,2,3,\cdots)$$

 

先生、これがフーリエ正弦係数だよね。

理系大学生ケイスケ

 

そのとおり!

先生

 

まとめ

フーリエ余弦係数とフーリエ正弦係数は、まず、フーリエ級数から導き出されるのですが、そのときに偶関数と奇関数の性質が大変重要なのです。奇関数のある区間の積分は0になり、消えてしまうのです。そして、この性質を利用してフーリエ余弦係数とフーリエ正弦係数が導き出されます。

 

今回は復習もかねてのフーリエ余弦係数とフーリエ正弦係数についての説明でした。これで、だいぶ、フーリエ級数にこなれてきたと思いますが、どうでしょうか。今回のことでフーリエ級数に関してかなり深く理解が進んだと思います。この調子でがんばりましょう。

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