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周期関数の定義とは?偶関数と奇関数をまとめてみた

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浪人の末に後期試験で男だらけの工業大学に進学した。勉強はほどほどにサークルで女子と楽しい大学生活を送ると思いきや、まともに話せずに1年間女子話さずに童貞を継続。「このままでは一生童貞だ」と思い大学1年の春に、、、

周期関数と聞いて果たしてどんな関数を思い浮かべますか?

 

周期という言葉があるので、ある周期で繰り返し同じ現象が起きる関数というものを想像すると思います。

 

それではそれを数学的に定義するとどうなるのか、ということをここでは説明したいと思います。

 

また、偶関数と奇関数とは一体どんな関数のこととを指しているのかということも合わせてみてゆきたいと思います。

 

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周期関数の定義とは?

周期関数の定義

$$関数f(x)が、すべてのxに対して$$

$$f(x + T) = f(x)$$

$$となるような正の定数Tをもつならば、この関数は周期的である。$$

$$このとき、f(x)を周期関数、Tを周期といいます。$$

この定義で何をいっているのかわかる人は、多少数学がわかる人で、普通ならばちんぷんかんぷんだと思います。

 

 

上記の図を見ると多少複雑な波形をしていますが、周期的に繰り返していることがわかると思います。

 

このようなものを表したものを周期関数といいます。

 

周期関数はフーリエ解析で重要ですので理解しておくべきものです。

 

とはいっても、周期関数の定義からではまだ、なんともいいがたいでしょう。

 

さらに続けます。

 

周期関数の定義から正数nに対して

$$f(x + nT) = f(x)  (n = 1, 2, 3, ……)$$

が成り立ちます。

 

$$つまり、何をいっているかというと2T,3T,……でもまた、周期関数なのです。$$

 

さらに続けます。

 

$$f(x)とg(x)が周期関数ならばその1次結合af(x) + bg(x)もまだ周期関数なのです。$$

 

ここまで、書いてきましたが、周期関数の代表格は三角関数です。

 

三角関数ならば、フーリエ解析がその視野に入ることは肝に銘じておいてください。

偶関数と奇関数とは?

偶関数と奇関数の定義

$$f(-x) = f(x)ならばf(x)は偶関数、$$

$$f(-x) = -f(x)ならばf(x)は奇関数といいます。$$

 

$$たとえばaを定数としてcos(ax)は偶関数、sin(ax)は奇関数です。$$

また、

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