今更聞けないフーリエ変換の性質の証明をまとめてみた

$$\newcommand{\diff}{\mathrm{d}}$$

今回はフーリエ変換の諸性質とその証明を行います。これまで、フーリエ変換を求めることやその応用にばかり目を奪われていましたが、そもそもフーリエ変換の性質とはどのような性質なのでしょうか。この点がこれまでの中で抜け落ちていましたので、ここでフーリエ変換の諸性質を取り上げ、その証明をします。

フーリエ変換

これまでフーリエ変換は$$F(\omega)$$と表していましたが、フーリエ変換と一目でわかるように$$\mathcal{F}(\omega)$$と書くことにします。

上記はいいですね。それではフーリエ変換の性質について証明してゆきたいと思います。

フーリエ変換の性質とその証明

線形性

$$a_1 f_1(x) + a_2 f_2(x)\rightleftharpoons a_1\mathcal{F}_1(\omega) + \mathcal{F}_2(\omega)$$

証明

$$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}\left\{a_1 f_1(x) + a_2 f_2(x)\right\}\mathrm{e}^{-i\omega x}\diff x \\ &=\ \int_{-\infty}^{\infty}\left\{a_1 f_1(x)\mathrm{e}^{-i\omega x} + a_2 f_2(x)\mathrm{e}^{-i\omega x}\right\}\diff x \\ &=\ a_1\int_{-\infty}^{\infty}f_1(x)\mathrm{e}^{-i\omega x}\diff x + a_2\int_{-\infty}^{\infty}f_2(x)\mathrm{e}^{-i\omega x}\diff x \\ &=\ a_1\mathcal{F}_1(\omega) + a_2\mathcal{F}_2(\omega)\end{align*}$$

対称性

$$\mathcal{F}(x)\rightleftharpoons 2\pi f(-\omega)$$

証明

フーリエ逆変換の公式で$$x = -x^\prime$$とおくと、

$$f(-x^\prime) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(\omega)\mathrm{e}^{-i\omega x^\prime}\diff\omega$$

ここで$$x^\prime \rightarrow \omega,\,\,\,\omega \rightarrow x$$と書き換えると$$f(-\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(x)\mathrm{e}^{-i\omega x}\diff x = \frac{1}{2\pi}\mathcal{F}(x)$$よって$$2\pi f(-\omega) \rightleftharpoons\mathcal{F}(x)$$

時間軸の伸縮

$$f(ax) \rightleftharpoons  \frac{1}{|a|}\mathcal{F}\left(\frac{\omega}{a}\right)$$

証明

1.a > 0のとき

$$x =\frac {t}{a}$$とおいてフーリエ変換を実行します。

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(ax)\mathrm{e}^{-i\omega x}\diff x = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-i\omega x}\frac{\diff t}{a} = \frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-i\frac{\omega}{a}t}\diff t = \frac{1}{a}\mathcal{F}\left(\frac{\omega}{a}\right)$$

2.a < 0のとき

$$x =\frac{t}{a} = – \frac{t}{|a|}$$とおいてフーリエ変換を実行します。

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(ax)\mathrm{e}^{-i\omega x}\diff x = \int_{\infty}^{-\infty}f(t)\mathrm{e}^{-i\omega\frac{t}{a}}\frac{-\diff t}{|a|} = \frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-i\frac{\omega}{a}t}\diff t = \frac{1}{|a|}\mathcal{F}\left(\frac{\omega}{a}\right)$$

時間軸と周波数軸の推移

$$f(t – t_0) \rightleftharpoons \mathcal{F}(\omega)\mathrm{e}^{-i\omega t_0} \\ f(t)\mathrm{e}^{i\omega_0t} \rightleftharpoons \mathcal{F}(\omega – \omega_0)$$

証明

$$x = t – t_0$$とおいてフーリエ変換を実行します。

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(t – t_0)\mathrm{e}^{i\omega t}\diff t = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{e}^{-i\omega(x + t_0)}\diff x= \mathrm{e}^{-i\omega t_0}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{e}^{-i\omega x}\diff x = \mathrm{e}^{-i\omega t_0}\mathcal{F}(\omega)$$

同様にして、

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{i\omega_0 t}\mathrm{e}^{-i\omega t}\diff t = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{e}^{-i(\omega – \omega_0) t}\diff x = \mathcal{F}(\omega – \omega_0)$$

微分

$$\frac{\diff}{\diff x}f(x) \rightleftharpoons i\omega\mathcal{F}(\omega)$$

証明

$$\begin{align*}\frac{\diff}{\diff x}f(x) \\ &=\ \frac{\diff}{\diff x}\left\{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(\omega)\mathrm{e}^{i\omega x}\diff \omega\right\}  \\ &=\ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(\omega)\left\{\frac{\diff}{\diff x}\mathrm{e}^{i\omega x}\right\}\diff \omega \\ &=\ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(\omega)i\omega\mathrm{e}^{i\omega x}\diff\omega \\ & \rightleftharpoons \omega\mathcal{F}(\omega)\end{align*}$$

積分

$$\int_{-\infty}^{t}f(\tau)\diff\tau \rightleftharpoons \frac{\mathcal{F}(\omega)}{i\omega}$$

証明

$$g(t) = \int_{-\infty}^{t}f(\tau)\diff \tau$$とおくと$$\frac{\diff}{\diff t} g(t) = f(t)$$

となります。そこで、$$g(t),\,\,\,\frac{\diff}{\diff t}g(t)$$のフーリエ変換をそれぞれ$$\mathcal{G}(\omega),\,\,\,\mathcal{F}(\omega)$$とすると、

$$\mathcal{F}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\diff g(t)}{\diff t}\mathrm{e}^{-i\omega t}\diff t = i\omega\mathcal{G}(\omega) \\ g(t) = \int_{-\infty}^{t}f(\tau)\diff\tau \rightleftharpoons \frac{\mathcal{F}(\omega)}{i\omega}$$

まとめ

フーリエ変換とフーリエ逆変換を説明する中で、これまで、深く説明していなかったフーリエ変換の性質の証明をしてきました。

いろいろとフーリエ変換にはおもしろい性質があり、この性質はフーリエ変換の応用でよく用いますので、今回上げたフーリエ変換とフーリエ逆変換の性質を忘れないでください。