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直交関数系とは何か知りたければこれを見ろ!

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浪人の末に後期試験で男だらけの工業大学に進学した。勉強はほどほどにサークルで女子と楽しい大学生活を送ると思いきや、まともに話せずに1年間女子話さずに童貞を継続。「このままでは一生童貞だ」と思い大学1年の春に、、、

ベクトルの直交から関数の直交定義づけます。ここで重要な考え方は内積です。ベクトルの内積で0になる場合がお互いのベクトルが直交しているということでした。そして、関数の内積を定義しました。それを使って関数の直交を導きます。

 

そして、直交する関数を直交関数系といいます。それは三角関数などが含まれます。また、フーリエ解析でも直交関数系が存在します。それにも触れながら直交関数系を説明します。

 

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関数が直交するって?

まず、$$ベクトル\vec{A}と\vec{B}$$が直交するとはどのようなとき、直交するといったでしょうか。$$ベクトル\vec{A}と\vec{B}$$を単位ベクトルで展開すると、

$$e_1 = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$$

$$e_2 = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$$

$$e_3= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$$

から

$$\vec{A} = A_1e_1 + A_2e_2 + A_3e_3,\vec{B} = B_1e_1 + B_2e_2 + B_3e_3$$に展開できます。

この内積

$$\vec{A}\cdot\vec{B} = \sum_{i=0}^{3} A_iB_i = 0$$

ならばベクトル$$\vec{A}と\vec{B}$$は直交するといいます。思い出したでしょうか。これはベクトルでの話です。これを拡張して関数に応用するのです。

$$関数A(x)(a ≦ x ≦ b)$$を考えます。あるxに対するA(x)はベクトルの成分とみなせます。これがキモです。関数をベクトルとみなしてしまうのです。

 

そうするとxは連続変数ですので、A(x)は無限個の成分をもつベクトル(無限次元のベクトル)とみなせるのです。このことからベクトルの場合にならって積の和(実際には積分です)を作ります。

$$\int_{a}^{b} A(x)B(x) dx = 0$$

ならば二つの関数A(x)とB(x)は区間[a, b]で直交するといいます。

 

フーリエ級数展開のおさらい

さて、フーリエ級数展開を覚えていますか。ここでおさらいします。フーリエ級数展開の実数値は、以下のとおりです。

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos(nx) + b_nsin(nx))$$

ここで上記の式を周期2πのものとして書き直します。その方がわかりやすいのでそうします。

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos\frac{2\pi}{L} nx + b_nsin\frac{2\pi }{L} nx)$$

ここまではよいでしょうか。

 

複素フーリエ級数

ここで、複素数のフーリエ級数を考えます。第n複素フーリエ級数cnを、

$$c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\mathrm{e}^{-inx} dx (n\in Z)  Zは整数$$

によって定義し、これを係数とする級数は

$$f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \mathrm{e}^{inx}…………(1)$$

となり、これを複素フーリエ級数といいます。これも周期2πのものとして書き換えると、

$$f(x) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \mathrm{e}^{i\frac{2\pi}{L}nx}$$

そして、cnは、

$$c_n = \frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\mathrm{e}^{-i\frac{2\pi}{L}nx} dx$$

ここに(1)を代入します。nをmに代えて、

$$c_n = \frac{1}{L}\int_{0}^{L}\left(\sum_{m=-\infty}^{\infty} c_m\mathrm{e}^{i\frac{2\pi}{L}mx} \right) \mathrm{e}^{-i\frac{2\pi}{L}nx} dx $$

これは()内を展開すると、次の式が期待されるのです。ここがキモなのです。

$$\int_{0}^{L} \mathrm{e}^{i\frac{2\pi}{L}mx}\mathrm{e}^{-i\frac{2\pi}{L}nx} dx = \left\{\begin{array}{1}0(m \neq n) \\ L(m = n)\end{array}\right.$$

これの証明は各自にまかせます。そんなに難しくありません。

以上のことから

$$\{\cdots,\mathrm{e}^{-2i\frac{2\pi}{L} }x,\mathrm{e}^{-i\frac{2\pi}{L}} ,1,\mathrm{e}^{i\frac{2\pi}{L}} ,\mathrm{e}^{2i\frac{2\pi}{L}} ,\cdots\}$$

という関数の集まりが得られます。この関数の集まりから任意に二つの関数を選んでかけ合わせると0になります。つまり、直交関数系が成り立っているのです。

 

ちょっと背伸びをして複素フーリエ級数を扱いましたが、わかったでしょうか。

オイラーの公式

複素フーリエ級数を取り扱うときにはオイラーの公式を利用します。オイラーの公式は次のとおりです。

$$\mathrm{e}^{ix} = cos\,x + i \,sin\,x$$

 

オイラーの公式は非常に重要ですのでしっかりと覚えてください。

 

まとめ

直交関数系ベクトルの直交、つまり内積が0になることを拡張して、それを関数に応用したものです。任意の関数A(x)とB(x)の積分しての積が0になれば、それを直交関数系といいます。

 

ここでは背伸びをして複素フーリエ級数を扱い、直交関数系ということがわかりました。この後は、正規直交関数系ディラックのδ関数などはまだここでは触れていません。それらはまたの機会に必ず触れます。そのためにも直交関数系を理解してください

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