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正規直交系のフーリエ級数を徹底的に解説してみた

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浪人の末に後期試験で男だらけの工業大学に進学した。勉強はほどほどにサークルで女子と楽しい大学生活を送ると思いきや、まともに話せずに1年間女子話さずに童貞を継続。「このままでは一生童貞だ」と思い大学1年の春に、、、

$$\newcommand {\diff}{\mathrm{d}}$$

直交関数系を覚えているでしょうか。直交関数系を覚えていれば正規直交系のフーリエ級数はそれ程難しくありません

ただただノルムの定義が加わったものを正規直交系と呼ぶのです。それでは正規直交系のフーリエ級数を説明してゆきます。

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直交関数系とは?

関数が直交するとはベクトルの直交を拡張して定義しましたベクトルが直交するとはその内積が0と言うことでしたよね。つまり、あるベクトル、$$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$$の内積は、$$|\overrightarrow{a}|・|\overrightarrow{b}|\cos\theta$$で、これが0になれば、ベクトル$$\overrightarrow{a}$$と$$\overrightarrow{b}$$は直交しています。これを関数に拡張したものが直交関数系と呼ばれるものです。それは、次のように定義されていました。

区間$$[a, b]$$で定義される積分可能な二つの関数f(x), g(x)に対して、内積は、$$(f(x),g(x)) = \int_{a}^{b}f(x)g(x)\diff x$$で定義されましたね。つまり、直交関数系とは、$$(f(x), g(x)) = \int_{a}^{b}f(x)g(x)\diff x = 0$$のことなのです。これは既出のことなので何の問題もないと思いますが、もし忘れているという人はしっかりと頭に入れてください。

さらに論を推し進めると、内積$$(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 0$$を満たすベクトル$$\overrightarrow{a}$$と$$\overrightarrow{b}$$は直交基底と呼ばれ、ノルムが$$\|\overrightarrow{a}\| = \|\overrightarrow{b}\| = 1$$のとき、正規直交基底といいます。

正規直交系とは

ベクトルの正規直交基底を関数に応用しましょう。ある区間$$[a, b]$$で連続で積分可能な関数$$\psi_{n}(x)$$からなる関数列$$\psi_{0}(x),\psi_{1}(x),\cdots,\psi_{n}(x),\cdots$$対して異なる関数$$\psi_{m}(x),\psi_{n}(m \neq n)$$が直交するとき、$$(\psi_{m}(x), \psi_{n}(x)) = \int_{a}^{b}\psi_{m}\psi_{n}\diff x = 0  (m,n = 0,1,2,3,\cdots,; m \neq n)$$が成り立ちます。そして$$(\psi_{n}(x), \psi_{n}(x)) = \int_{a}^{b}\psi_{n}(x)\psi_{n}(x)\diff x \neq 0  (n = 1,2,3,\cdots)$$を満たすとき、関数列$$\psi_{0},\psi_{1},\cdots,\psi_{n},\cdots$$を区間$$[a, b]$$上の直交関数系といい、さらにこの直交関数系が$$(\psi_{n}(x),\psi_{n}(x)) = \int_{a}^{b}\psi_{n}(x)\psi_{n}(x)\diff x = 1  (n = 1,2,3,\cdots)$$のとき$$\psi_{0}(x),\psi_{1}(x),\psi_{2}(x),\cdots,\psi_{n}(x),\cdot$$を区間$$[a, b]$$上の正規直交関数系といいます。

ただし、関数$$\psi_{n}(x)$$のノルム$$\|\psi_{n}(x)\|$$は、

$$\|\psi_{n}(x)\| = (\psi_{n}(x),\psi_{n}(x))^{\frac{1}{2}} = \left(\int_{a}^{b}\psi_{n}(x)\psi_{n}(x) \diff x\right)^{\frac{1}{2}}$$

 

正規直交系のフーリエ級数

区間$$[a, b]$$で定義された正規直交関数系$$\{\phi_0,\phi_1, \phi_2, \cdots,\phi_n, \cdots\}$$があります。つまり、この関数列は互いの内積に関して$$(\phi_m(x),\phi_n(x)) = \int_{a}^{b}\phi_m(x)\phi_n(x) \diff x = \delta_{mn}$$が成り立ちます。ここで、$$\delta_{mn}$$はクロネッカーのデルタと呼ばれるもので、$$m \neq n$$のとき$$\delta_{mn} =0$$となり、$$m = n$$のとき$$\delta_{mn} =1$$となります。

 

さて、フーリエ級数は$$f(x)  = \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx \right)$$でした。これを構成する直交関数系は$$\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \cdots, \cos nx, \sin nx,\cdots\}$$です。フーリエ級数$$f(x)$$は区間$$[-\pi, \pi]$$で収束し、項別積分可能とします。それは、$$ \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx \right) = 0$$と仮定し、フーリエ級数$$f(x)  = \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx \right)$$と直交関数系$$\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \cdots, \cos nx, \sin nx,\cdots\}$$の内積をとると、

$$\begin{align*}\int_{-\pi}^{\pi}\left\{ \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx \right)\right\}・1 \diff x = 0 \Rightarrow a_0 =0 \\ \int_{-\pi}^{\pi}\left\{ \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx \right)\right\}・\cos nx \diff x= 0 \Rightarrow a_k =0  && (k = 1, 2, 3, \cdots) \\ \int_{-\pi}^{\pi}\left\{ \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx \right)\right\}・\sin nx\diff x = 0 \Rightarrow b_k = 0 && (k = 1, 2,3, \cdots)\end{align*}$$となるのです。つまり、$$ \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx + b_n\sin nx \right) = 0$$ならば、$$a_0 = a_1 =b_1= \cdots = a_n = b_n = \cdots =0$$が成り立ちます。これは直行関数系が一次独立を定義していて、フーリエ級数が一意性であることを意味しています。

 

正規直交関数系のフーリエ級数展開の例として区間$$[-\pi, \pi]$$で、次のような関数列が知られています。

$$\begin{align*}\{1, \sqrt{2}\cos x, \sqrt{2}\cos 2x,\cdots,\sqrt{2}\sin x, \sqrt{2}\sin 2x,\cdots\} && (1) \end{align*}$$

(1)がフーリエ級数展開を満たすということは分かりますね。

 

まとめ

今回は正規直交関数系のフーリエ級数を説明してきました。

ベクトルの直交と内積をしっかりと理解していれば、それほど難しいことはいっていません。ベクトルの内積と直交というものを関数列に拡張したのが、関数の内積であり、直交関数系です。

 

そして、ベクトルの場合、ノルムが1の場合、正規直交基底といい、これを関数列に拡張してノルムが内積の$$\frac{1}{2}$$乗となる場合、正規直交関数系でした。ここではそれほど難しいことは全くありませんので、しっかりと理解してください。

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