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理系大学生の数学駆け込み寺

フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換

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浪人の末に後期試験で男だらけの工業大学に進学した。勉強はほどほどにサークルで女子と楽しい大学生活を送ると思いきや、まともに話せずに1年間女子話さずに童貞を継続。「このままでは一生童貞だ」と思い大学1年の春に、、、

$$\newcommand{\diff}{\mathrm{d}}$$

フーリエ変換を複素フーリエ級数から導き出しましたが、今回はフーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換を導出したいと思います。フーリエ変換を導き出しているので、フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換を導くのは一見複雑に見えますが行っていることは難しくありません

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フーリエ変換とは?

フーリエ変換とは?

まず、周期$$2\pi$$の複素フーリエ級数は$$\begin{align*}f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\mathrm{e}^{inx} \\ c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{e}^{-inx}\diff x\end{align*}$$でした。そして、オイラーの公式は、$$\mathrm{e}^{ix} = \cos x + i\sin x$$でした。これからフーリエ変換$$\begin{align*}F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\mathrm{e}^{-i\omega x} \diff x && (1)\end{align*}$$とフーリエ逆変換$$\begin{align*}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{i\omega x} \diff \omega && (2)\end{align*}$$が導かれました。

フーリエ積分

周期$$2L$$を持つ周期関数$$f_L(x)$$をフーリエ級数で表すと次のようになります。

$$\begin{align*}f_L(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right) &&(3)\end{align*}$$ここで、$$\begin{align*}a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f_L(u)\cos\frac{n\pi u}{L}\diff u \\ b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f_L(u)\sin\frac{n\pi u}{L}\diff u && (4)\end{align*}$$です。(4)を(3)に代入すると次のようになります。

$$\begin{align*}f_L(x) = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f_L(u)\diff u  + \frac{1}{L}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\cos\frac{n\pi x}{L}\int_{-L}^{L}f_L(x)\cos\frac{n\pi u}{L} \diff u + \sin\frac{n\pi x}{L}\int_{-L}^{L}f_L(x)\sin\frac{n\pi u}{L}\diff u\right) && (5)\end{align*}$$

ここで、新しい記号を導入します。$$\omega_n = \frac{n\pi}{L},\,\,\,\,\Delta\omega = \omega_{n+1} – \omega_n = \frac{\pi}{L}$$

これを(5)に代入すると$$\begin{align*}f_L(x) = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f_L(u)\diff u + \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\Delta\omega\left(\cos\omega_n x\int_{-L}^{L}f_L(x)\cos\omega_n u\diff u + \sin\omega_n x\int_{-L}^{L}f_L(x)\sin\omega_n u\diff u\right) && (6)\end{align*}$$

ここで、$$L \rightarrow \infty$$の極限を考え、その関数を$$f(x)$$とします。すなわち、$$f(x) = \lim_{L \rightarrow \infty}f_L(x) $$です。この$$f(x)$$はもはや周期関数ではありません。ここで$$f(x)$$は絶対積分可能であるとします。つまり、$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|\diff x$$は存在する、と仮定するのです。

 

(6)の第一項は$$L \rightarrow \infty$$で0になります。第二項は$$L \rightarrow \infty$$で、$$\begin{align*} \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\Delta\omega\left(\cos\omega_n x\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos\omega_n u\diff u + \sin\omega_n x\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\sin\omega_n u\diff u\right) && (7)\end{align*}$$とします。ここで、$$L \rightarrow \infty$$では$$\omega_n$$は無限に細分化され、連続変数$$\omega$$とみなせ、また、$$\Delta\omega \rightarrow 0$$であることに注意すると、$$\begin{align*}\lim_{\Delta\omega \rightarrow 0}\sum_{n=1}^{\infty}\Delta\omega F(\omega_n) \rightarrow \int_{0}^{\infty}\diff \omega F(\omega) &&(8)\end{align*}$$となります。(8)を用いて(7)を書き換えると、$$\begin{align*}f(x) = \frac{1}{\pi}\left(\int_{0}^{\infty}\cos \omega x\diff \omega\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\cos \omega u \diff u + \int_{0}^{\infty}\sin\omega x\diff \omega\int_{-\infty}^{\infty}f(u)\sin\omega u\diff u\right)  \\  =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\diff u\int_{-\infty}^{\infty}\diff\omega f(u)\left(\cos\omega x\cos\omega u + \sin\omega x\sin\omega u\right)   \\  = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\diff\omega\int_{-\infty}^{\infty}\diff uf(u)\cos\omega (x – u) && (9)\end{align*}$$という式が得られます。これをフーリエ積分公式といいます。また、(9)は次のようにも書けます。

$$\begin{align*}f(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\left(A(\omega)\cos\omega x + B(\omega)\sin\omega x\right)\diff\omega && (10)\end{align*}$$

$$\begin{align*}A(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(u)\cos\omega u\diff u && (11)\end{align*}$$

$$\begin{align*}B(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(u)\sin\omega u\diff u && (12)\end{align*}$$

これをフーリエ積分表示といいます。

 

フーリエ積分定理

関数$$f(x)$$が以下の2つの条件、

1.関数$$f(x)$$と関数$$f^\prime(x)$$が全区間$$[-\infty, \infty]$$で区分的に連続

2.関数$$f(x)$$が$$(-\infty, \infty)$$で絶対積分可能

を満たすならば、そのフーリエ積分は、

$$\begin{align*}● f(x)が連続な点xではf(x) \\ ●f(x)が不連続な点xでは、\frac{1}{2}\left(f(x + 0) L f(x – 0)\right)\end{align*}$$に収束する。

フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換

さて、ようやくフーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換が求める素地ができました。フーリエ積分(9)において$$f(x)$$が偶関数ならば$$B(\omega) = 0$$となり、$$\begin{align*}f(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}A(\omega)\cos\omega x \diff\omega && (13)\end{align*}$$

$$\begin{align*}A(\omega) = 2\int_{0}^{\infty}f(u)\cos\omega u \diff u && (14)\end{align*}$$と書けます。一方で、$$f(x)$$が奇関数ならば、$$A(\omega) = 0$$となり、

$$\begin{align*}f(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}B(\omega)\sin\omega x\diff\omega && (15)\end{align*}$$

$$\begin{align*}B(\omega) = 2\int_{0}^{\infty}f(u)\sin\omega u \diff u && (16)\end{align*}$$と書けます。(13)と(14)、(15)と(16)は相互の変換式で、その係数の積が$$\frac{2}{\pi}$$であればいいので、ここで、係数を$$\sqrt\frac{2}{\pi}$$とすると(13)(14)(15)(16)は次のようになります。

$$\begin{align*}f(x) = \sqrt\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}F_c(\omega)\cos\omega x\diff\omega && (17)\end{align*}$$

$$\begin{align*}F_c(\omega) = \sqrt\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f(x)\cos\omega u\diff x && (18)\end{align*}$$

$$\begin{align*}f(x) =\sqrt\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f_s(\omega)\sin\omega x\diff\omega && (19)\end{align*}$$

$$\begin{align*}F_s(\omega) = \sqrt\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f(x)\sin\omega u\diff x && (20)\end{align*}$$

ここで、$$F_c(\omega)$$をフーリエ余弦変換、$$F_s(\omega)$$をフーリエ正弦変換と呼びます。

 

フーリエ余弦変換の例題問題

ここで、フーリエ余弦変換の例題を解いてみようと思います。

例題

区間$$(-\infty, \infty)$$で定義された関数

$$\begin{align*}f(x) = \left\{\begin{array}{}1 && (|x| \leq 1) \\ 0 && (|x| > 1)\end{array}\right.\end{align*}$$のフーリエ余弦変換を求めなさい。

解答例

関数$$f(x)$$のフーリエ余弦変換$$F_c(\omega)$$は、

$$F_c(\omega) = \sqrt\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}f(x)\cos\omega x\diff x = \sqrt\frac{2}{\pi}\int_{0}^{1}1・\cos\omega x\diff x\\ =\sqrt\frac{2}{\pi}\left[\frac{\sin\omega x}{\omega} \right]_{0}^{1} = \sqrt\frac{2}{\pi}\frac{\sin\omega}{\omega}$$となります。

 

まとめ

今回はフーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換を説明しましたが、それらを求めるにはフーリエ積分を知っていなければなりません。このフーリエ積分ですが、一見とても複雑に見えるかもしれませんが、展開して行く過程はとても簡単です。ただ、式が長いだけですので、フーリエ積分に尻込みせずにしっかりと学んで、フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換の導出の仕方を理解してください

 

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