理系大学生が勉強でつまるところや悩むところを大学の100倍わかりやすく解説するサイトです。ぜひ拡散お願いします。大学生活を楽しむために必要なことを徹底的に解説しています。

理系大学生の数学駆け込み寺

フーリエ変換、フーリエ逆変換とは何かを世界一やさしく説明してみた

アバター
WRITER
 
この記事を書いている人 - WRITER -
アバター
浪人の末に後期試験で男だらけの工業大学に進学した。勉強はほどほどにサークルで女子と楽しい大学生活を送ると思いきや、まともに話せずに1年間女子話さずに童貞を継続。「このままでは一生童貞だ」と思い大学1年の春に、、、

$$\newcommand{\diff}{\mathrm{d}}$$

これまで周期関数であるフーリエ級数を扱ってきました。それを非周期関数に拡張したものがフーリエ変換ですフーリエ変換は、フーリエ級数の拡張ゆえに非周期関数を三角関数で表すことができるのです。また、複素フーリエ級数からフーリエ変換の式が導き出されます。ここでもオイラーの公式が大活躍するのです。そして、フーリエ逆変換はフーリエ変換が分かれば、たちどころに求められるので身構える必要はありません。

スポンサーリンク

複素フーリエ級数とフーリエ変換の違い

複素フーリエ級数は次のように表されました。

$$\begin{align*}f(x) \sim a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\left(c_n\mathrm{e}^{inx} + c_{-n}\mathrm{e}^{-inx}\right) \\ = \sum_{-\infty}^{\infty}c_n\mathrm{e}^{inx}, \\ c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{e}^{-inx}\diff x\end{align*}$$

ここまではいいでしょうか。ここで、複素フーリエ級数を周期$$T$$として時間の関数として表すと、次のようになります。

$$\begin{align*}f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\mathrm{e}^{i\omega_0t} && (1)\\ c_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\mathrm{e}^{in\omega_0t}\diff t && (ただし\omega_0 = \frac{2\pi}{T}) && (2)\end{align*}$$

(2)を(1)に代入します。

$$\begin{align*}f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\omega_0}{2\pi}\left(\int_{-\frac{\pi}{\omega_0}}^{\frac{\pi}{\omega_0}}f(t)\mathrm{e}^{i\left(n\omega_0\right)t}\diff t\right)\mathrm{e}^{i\left(n\omega_0\right)t} && (3)\end{align*}$$

ここで()で括ってある$$(n\omega_0)$$に注目すると、(3)は次のような構造の式に書き換えられます。

$$\begin{align*}f(t) = \frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\omega_0F(n\omega_0)\mathrm{e}^{i\left(n\omega_0\right)t} && (4) \end{align*}$$

ここで導入されている関数Fは次のようなものです。

$$\begin{align*}F(p) \equiv \int_{-\frac{\pi}{\omega_0}}^{\frac{\pi}{\omega_0}}f(t)\mathrm{e}^{ipt} && (5)\end{align*}$$

(4)はさらに次のような構造にもなっています。

$$\begin{align*}f(t)  = \frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\omega_0 G(n\omega_0) && (6)\end{align*}$$

ここで導入されている関数Gは、(4)を見ればどんな関数か一瞥の元に分かると思います。その性質を説明すれば、関数$$G(p)$$の変数$$p$$が$$n\omega_0$$という飛び飛びの幅で変化して行きますが、そのときどきの関数の値に$$\omega_0$$をかけているのです。それをグラフとしてみれば、幅$$\omega_0$$の多数の棒グラフ状のものの面積の合計のことです。フーリエ変換ではこれを極限まで幅$$\omega_0$$を狭めることなのです。つまり、

$$\begin{align*}f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}G(k)\diff k && (7)\end{align*}$$

(7)を元に戻せば、

$$\begin{align*}f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(k)\mathrm{e}^{ikt}\diff k && (8)\end{align*}$$

そして、(5)ではまだ$$\omega_0$$が含まれていましたが、これも$$\omega_0 \rightarrow 0$$の極限での値に書き換えるべきですので、関数Fは次のようになります。

$$\begin{align*}F(k) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{-ikt}\diff t && (9)\end{align*}$$

ここで、時間$$t$$を$$x$$に、そして$$k$$を$$\omega$$に置き換えて一般化すると(9)は次のようになります。

$$\begin{align*}F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{e}^{-i\omega x}\diff x && (10)\end{align*}$$

フーリエ変換は(10)として定義されている場合が多いので、置き換えをしてみただけですので、深い意味はありません。これを(8)にも適応いたします。

$$\begin{align*}f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{i\omega x}\diff x && (11)\end{align*}$$

(11)を(10)に代入すれば元通りの$$f(x)$$が求められます。このことから(11)をフーリエ逆変換といいます。

フーリエ変換の意味

ここで、フーリエ変換の意味をイメージしてみようと思います。フーリエ変換は、関数$$f(x)$$を関数$$F(\omega)$$に変換するというものです。ではこれは一体何を意味しているのでしょうか。フーリエ変換には$$\mathrm{e}^{i\omega x}$$という数式が登場します。これはオイラーの公式から三角関数に変換可能なことは分かると思います。例えばそれを$$\cos \omega x$$と言うような波をイメージすると分かると思います。

 

高校物理では波を簡単に$$\cos(2\pi\frac{x}{\lambda})$$と表していました。すると$$\omega$$は$$\omega = \frac{2\pi}{\lambda}$$に相当します。物理学ではこの$$\omega$$のことを「波数」といい、波長$$\lambda$$や振動数$$f$$と同様によく使うものです。波数の意味するところは、「$$2\pi$$メートル中に波長がいくつ存在するか」という意味です。

 

つまり、フーリエ変換は、座標で表された波形$$f(x)$$を波数$$F(\omega)$$に変換するもので、$$F(\omega)$$は$$f(x)$$のいろいろな波形を重ね合わせたものということになります。他にも$$x$$を時間$$t$$に置き換えれば、$$f(t)$$は音波や電子回路のオシロスコープの波にも考えられ、この場合の$$\mathrm{e}^{i\omega t}$$は$$\cos \omega t$$を表しているようなもので、$$\omega$$は振動数を$$f$$とするならば$$\omega = 2\pi f$$であり、$$\omega$$は「角振動数」または「角周波数」と呼ばれるものです。

まとめ

フーリエ変換はフーリエ級数を非周期関数へと拡張したものです。フーリエ変換とフーリエ級数との違いは非周期関数か周期関数彼の違いです。そして、フーリエ変換は複素フーリエ級数から導出され、オイラーの公式が大活躍します。つまり、フーリエ変換はどんな関数も三角関数で表すというもので、どんな関数も三角関数で表せれば、その応用は何でもあれ、といいものなのです。

この記事を書いている人 - WRITER -
アバター
浪人の末に後期試験で男だらけの工業大学に進学した。勉強はほどほどにサークルで女子と楽しい大学生活を送ると思いきや、まともに話せずに1年間女子話さずに童貞を継続。「このままでは一生童貞だ」と思い大学1年の春に、、、

- Comments -

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください

Copyright© 理系大学生の数学駆け込み寺 , 2018 All Rights Reserved.