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【三次元】極座標と直交座標の相互変換が一瞬でわかる!

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二次元をようやく理解したと思ったら、三次元来ちゃったよ・・・

ということで、今回のテーマは三次元直交座標極座標についてです。なんとなく存在は知っている人もいるかもしれませんが、ここでは、その定義と変換方法をご紹介します。

「どうやって変換するの?」と思われる方もいると思うので、その方法をご紹介します。

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三次元の直交座標とは

ポイント1

三次元直交座標は \(P(x,y,z)\) で点の位置を表す方法 である

これは高校のときに勉強しましたよね。平面的にみていた二次元と違って、高さ \(z\) がでた分、座標は3つになります。

しかし、考え方としては二次元のときとさほど変わりません。

 

 三次元極座標とは

ポイント2

三次元極座標は \(P(r,θ,φ)\) で点の位置を表す方法 である

\(r\) :極\(O\)から点\(P\)までの距離 

\(θ\):\(z\) 軸の性の向きと \(OP\) のなす角 

\(φ\):\(x\)軸の性の向きと\(OQ\) のなす角

 

直交座標系と極座標系の変換について

さて、ひき続きそれぞれの方向からの変換の公式をみてみましょう。

ポイント3

極座標 \((r,θ,φ)\) から直交座標 \((x,y,z)\) への変換

\(x=rsinθcosφ\) ,\(y=rsinθsinφ\) ,\(z=rcosθ\)

 

ポイント4

直交座標 \((x,y,z)\) から極座標 \((r,θ,φ)\) への変換

\(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) ,\(θ=Arccos\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\) ,\(φ=Arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

Arccos(アークサイン)がわからない人は以前紹介したページに戻ろう!

変換については理解できたでしょうか。

 

 

三重積分の活用法

さて、ここで三重積分の話もしておきます。

 

実は、三重積分は、重積分を先に行い、後で(1重)積分を行っているだけなのです。

なるほど、そういう仕組みになっているのかぁ

例を見てみましょう。

具体例

\(V = \){\((x,y,z) |  x^2+y^2+z^2 \leq a^2    ,  0\leq x    ,  0\leq y    ,  0\leq z\)} \((0<a)\)

とするとき,  次の三重積分を計算せよ。

\(\iiint_V x dxdydz\)

ここで、\(V\) は \(V = \){\((x,y,z) | 0 \leq x \leq a , y^2+z^2 \leq a^2 – x^2 , 0 \leq y , 0 \leq z \)}と表される。

そこで、 \(D_x =\){\(y,z) | y^2+z^2 \leq a^2 – x^2 , 0\leq y, 0 \leq z\)}と置くと、

\(\iiint_V xdxdydz = \int_0^a dx \iint_{D_x} xdydz\)

ここで、\(\iint_{D_x} dydz\) は半径 \(\sqrt{a^2 – x^2}\) の円板の面積の\(\frac{1}{4}\) であるから、

\(\iint_{D_x} xdydz = x \cdot \frac{\pi (a^2 – x^2 )}{4}\)

である。よって、

\(\iint_V xdxdydz = \frac{\pi}{4} \int_0^a (a^2 x – x^3)dx = \frac{\pi}{4}[\frac{1}{2}a^2 x^2-\frac{1}{4}x^4]_0^a = \frac{\pi}{16} a^4\)

となるわけです。

 

 

やっぱりこの分野の解説はこの人に任せましょう

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