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超がつくほど簡単!log(1+x) のマクローリン展開【公式・証明】

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え・・・ logx じゃなくてあえて log(1+x) なの・・・

絶対めんどくさいじゃん・・・もうその時点でやる気が・・・

はい、またまた最初から苦手意識が開花しているようです。

log(1+x) のマクローリン展開なんて、パッと見た感じ、複雑なイメージが湧きがちですが、そんなことは一切ありません!断言します。

 log(1+x) のマクローリン展開というのは、なんのこっちゃと思うかもしれませんが、ただ単に、

\(f(x)=log(1+x)\)

の場合でのマクローリン展開のことを指しているだけなんです。

logx のマクローリン展開  x=0 が定義されない (真数条件)からできないんだ。

でも log(1+x) もやってみると意外に面白い形になるから一緒にやってみよう!

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log(1+x) のマクローリン展開の公式

公式もマクローリン展開の公式に \(f(x)=log(1+x)\) を対応させて計算した結果をまとめただけなんですよ。

まずはその公式から紹介します。

ポイント1

\(log(1+x)\) のマクローリン展開は \(log(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\cdots\) と表される

 

ちなみに証明も超がつくほど簡単です。

超がつくほど簡単な証明

さて、まずはマクローリン展開の復習からいきましょう。マクローリン展開の公式

\(f(x)= f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots  \)

と表されることを以前勉強しましたね。

それではこの式に、\(f(x)=log(1+x)\) を対応させていきましょう。

\(f(x)=log(1+x)\) より \(f(0)=0\)

\(f'(x)=(1+x)^{-1}\) より \(f'(0)=1\)

\(f^{\prime\prime}(x)=-(1+x)^{-2}\) より \(f^{\prime\prime}(0)=-1\)

\(f^{\prime\prime\prime}(x)=2!(1+x)^{-3}\) より \(f^{\prime\prime\prime}(0)=2!\)

\(f^{(4)} (x)=-3!(1+x)^{-4}\) より \(f^{(4)}(0) =-3!\)

\(f^{(5)} (x)=4!(1+x)^{-5}\) より \(f^{(5)}(0) =4!\)

であるので、\(1 \leq n\) (\(n\) は自然数) において、

\(f^{(n)} (x)=(-1)^{n+1} (n-1)!(1+x)^{-n}\)  より  \(f^{(n)} (0) =(-1)^{n+1} (n-1)!\) となることがわかります。

これをマクローリン展開の公式に代入すると、

\(log(1+x)=0+\frac{1}{1!}x-\frac{1}{2!}x^2+\frac{2!}{3!}x^3+\cdots\)

式を整理すると、\(log(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\cdots\) となるため証明終了。

証明簡単だっただろ!しかもこんなにキレイにまとまるなんて驚きだよな!

 

えーと、こういう場合の公式は第3項まで覚えるんだったよね!

 

はい、そうでしたね!これは結構重要なことなんです。詳しくは

をみてくださいね。

 

 

証明の途中計算をもっと詳しくみたい方はこちらの動画を参考にしてみてください

 

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