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【試験に出る】双曲線関数の重要公式まとめ!

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浪人の末に後期試験で男だらけの工業大学に進学した。勉強はほどほどにサークルで女子と楽しい大学生活を送ると思いきや、まともに話せずに1年間女子話さずに童貞を継続。「このままでは一生童貞だ」と思い大学1年の春に、、、

やべー、授業のノートまとめるの忘れてて、試験前に要らん時間食った夢見た

先生

試験前、公式をまとめる時間もったいないですよね試験に出そうな、双曲線関数の公式をまとめて見ました。試験前は、時間が無いと思うので、公式以外の情報を割愛し、さらっと確認出来る用ににして見ました。

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定義まとめ

$${\sinh x={e^{x}-e^{-x} \over 2} ,cosh x={e^{x}+e^{-x} \over 2}}$$
$${\displaystyle \tanh x={\sinh x \over cosh x}\\coth x={1 \over \tanh x}}$$
$${\displaystyle sech x={1 \over \cosh x}\\cosech x={1 \over \sinh x}}$$

加法定理まとめ まとめて覚えよう❗

頑張って覚えてね

先生

加法定理
                                符号は単純なので、±の式で覚えよう

$$\sinh(α±β)= \sinhα\cosh β ± \cosh α\sinh β $$
$$\cosh(α±β)= \coshα\cosh β ± \sinh α\sinh β $$
$$\tanh(α±β)= \frac{\tanh α ± \cosh β} {1±\tanh α\tanh β}$$
$$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x $$
$$\cosh 2x=2\cosh ^2x-1=1+2\sinh ^2x $$

微分公式まとめ

注意
sinh,coshは、符号に注意

\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\end{aligned}

積分公式まとめ

$$\displaystyle \int \sinh dx=\cosh x+C $$
$$\displaystyle \int \cosh dx=\sinh x+C $$
$$\int \tanh xdx=\log (\cosh x) + C $$

$$tanh x = \frac{(\cosh x)’}{\cosh x}$$の形で、tanh xを覚えておきましょう。

先生

逆関数とその微分まとめ

\begin{aligned}\sinh ^{-1}x&=\log \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\cosh ^{-1}x&=\log \left(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right)\\\tanh ^{-1}x&={\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}\end{aligned}
\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh ^{-1}x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh ^{-1}x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh ^{-1}x&={\frac {1}{1-x^{2}}}\end{aligned}

二乗の差

$$\cosh^{2} x – \sinh^{2} x = 1$$

計算した方が早いぜ!!
\[ \sinh x = \frac{ e^{x} – e^{-x} } { 2 } 、\cosh x = \frac{ e^{x} + e^{-x} } { 2 } を代入して\] $$(\frac{ e^{x} + e^{-x} } { 2 })^{2} -(\frac{ e^{x} – e^{-x} } { 2 })^{2} = 1 $$

理系大学生ケイスケ

巾級数展開

Bn, Enは、それぞれベルヌーイ数とオイラー数である

\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\dotsb \\[1ex]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{2n} \over (2n)!}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\dotsb \\[1ex]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\dotsb ,\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\\[1ex]\operatorname {csch} x&={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\dotsb ,\quad 0<|x|<\pi \\[1ex]\operatorname {sech} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\dotsb ,\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\\[1ex]\coth x&={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\dotsb ,\quad 0<|x|<\pi \end{aligned}

sinhが奇数項、coshが偶数項になってるね❗

理系大学生ケイスケ

無限乗積展開

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(\pi z)&=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)\\\cosh(\pi z)&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$

まとめ

いかがでしょうか、双曲線関数の公式はとても多いので、何時でも確認出来る用にブックマークお願いします
授業動画

最後に先生、締めの挨拶宜しくお願いします

任せろ!!あれ?風邪かなぁ…ふぁふぁ、ファンクショーン

先生

ハイパボリックサインとハイパボリックコサインの記事にいる先生のくしゃみはどうやら違う用です
皆さんお見舞いに行ってやって下さい

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浪人の末に後期試験で男だらけの工業大学に進学した。勉強はほどほどにサークルで女子と楽しい大学生活を送ると思いきや、まともに話せずに1年間女子話さずに童貞を継続。「このままでは一生童貞だ」と思い大学1年の春に、、、

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