【試験に出る】双曲線関数の重要公式まとめ！

やべー、授業のノートまとめるの忘れてて、試験前に要らん時間食った夢見た

試験前、公式をまとめる時間もったいないですよね試験に出そうな、双曲線関数の公式をまとめて見ました。試験前は、時間が無いと思うので、公式以外の情報を割愛し、さらっと確認出来る用ににして見ました。

1 定義まとめ
2 加法定理まとめまとめて覚えよう❗
3 微分公式まとめ
4 積分公式まとめ
5 逆関数とその微分まとめ
6 二乗の差
7 巾級数展開
8 無限乗積展開
9 まとめ
10 双曲線関数の微分公式個別記事

定義まとめ

$${\sinh x={e^{x}-e^{-x} \over 2} ,cosh x={e^{x}+e^{-x} \over 2}}$$ $${\displaystyle \tanh x={\sinh x \over cosh x}\\coth x={1 \over \tanh x}}$$ $${\displaystyle sech x={1 \over \cosh x}\\cosech x={1 \over \sinh x}}$$

加法定理まとめまとめて覚えよう❗

頑張って覚えてね

加法定理

符号は単純なので、±の式で覚えよう $$\sinh(α±β）= \sinhα\cosh β ± \cosh α\sinh β $$ $$\cosh(α±β）= \coshα\cosh β ± \sinh α\sinh β $$ $$\tanh（α±β）= \frac{\tanh α ± \cosh β} {1±\tanh α\tanh β}$$ $$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x $$ $$\cosh 2x=2\cosh ^2x-1=1+2\sinh ^2x $$

微分公式まとめ

注意

sinh,coshは、符号に注意 \begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\end{aligned}

それぞれの微分に関して詳しく知りたい方は個別で解説しています。証明まで解説しているのでこちらで詳しくご覧ください。

2018年3月15日ハイパボリックサイン(sinhx)とは？微分したらどうなる？

2018年3月15日ハイパボリックコサイン(coshx)とは？微分したらどうなる？

積分公式まとめ

$$\displaystyle \int \sinh dx=\cosh x+C $$ $$\displaystyle \int \cosh dx=\sinh x+C $$ $$\int \tanh xdx=\log (\cosh x) + C $$

$$tanh x = \frac{（\cosh x）’}{\cosh x}$$の形で、tanh xを覚えておきましょう。

逆関数とその微分まとめ

\begin{aligned}\sinh ^{-1}x&=\log \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\cosh ^{-1}x&=\log \left(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right)\\\tanh ^{-1}x&={\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}\end{aligned}

\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh ^{-1}x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh ^{-1}x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh ^{-1}x&={\frac {1}{1-x^{2}}}\end{aligned}

二乗の差

$$\cosh^{2} x – \sinh^{2} x = 1$$

計算した方が早いぜ!!
$$\sinh x = \frac{ e^{x} – e^{-x} } { 2 } 、\cosh x = \frac{ e^{x} + e^{-x} } { 2 }$$ を代入して
$$(\frac{ e^{x} + e^{-x} } { 2 }）^{2} -(\frac{ e^{x} – e^{-x} } { 2 }）^{2} = 1 $$

巾級数展開

Bn, Enは、それぞれベルヌーイ数とオイラー数である

\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\dotsb \\[1ex]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{2n} \over (2n)!}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\dotsb \\[1ex]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\dotsb ,\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\\[1ex]\operatorname {csch} x&={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\dotsb ,\quad 0<|x|<\pi \\[1ex]\operatorname {sech} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\dotsb ,\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}\\[1ex]\coth x&={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\dotsb ,\quad 0<|x|<\pi \end{aligned}

sinhが奇数項、coshが偶数項になってるね❗

無限乗積展開

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(\pi z)&=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)\\\cosh(\pi z)&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$