今回のテーマは、ケーリーハミルトンの定理です。
この定理はアーサー・ケーリーとウィリアム・ローワン・ハミルトンという２人の人物の名前にちなんでいます。
ケーリー・ハミルトンっていう人の定理かと思ってた！
線形代数学において、この定理は最も有名な定理と言えるでしょう。
この定理はかなり使えるので、かならず使えるようになろう！
ケーリーハミルトンの定理の証明
ケーリーハミルトンの定理は以下の通りである。
正方行列 \(A\) に対して、\(det(A-λE)\) という多項式の \(λ\) の部分を \(A\) に変えたものは零行列になる。
λ というのは、これまであまり出てきていない記号ですが、「ラムダ」と読みます。
２×２行列のときの一般形は以下の通りです。
\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d \end{pmatrix}\)とします。
このとき、固有多項式は、\(det(A-λE)=λ^2-(a+d)λ+(ad-bc)λ^0\)
この式に関して、\(λ\) に\(A\) を代入すると、２×２行列のケーリーハミルトンの定理は以下になることがわかります。
\(A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O\)
証明を簡単にしてみましょう。
\(A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^2 \end{pmatrix}\)
\(-(a+d)A=\begin{pmatrix}-a^2-ad&-ad-bd\\-ac-cd&-ad-d^2 \end{pmatrix}\)
\((ad-bc)I=\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc \end{pmatrix}\)
よって、これらを代入すると\(A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O\)が成り立つ。
計算すればいいだけか、この証明は簡単だ！
ケーリーハミルトンの定理はなぜ有用！？
さて、ケーリーハミルトンの定理と証明方法に関しては理解できたと思います。
ここで、実際にどのような場面で使うのか実例をみてみましょう！
問題：\(A=\begin{pmatrix}3&1\\-2&-1 \end{pmatrix}\)のとき、\(A^2 , A^3\) を求めよ。
まずは \(A^2=\begin{pmatrix}3&1\\-2&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\-2&-1 \end{pmatrix}\) を計算してっと・・・
ちょっと待った！！！おいおい、今まで一体何を聞いてたんだ！
え～・・・何か計算ミスしてるのかな・・・
そうじゃなくて、ケーリーハミルトンの定理をせっかくだから使って計算してみたらどうだ、と言いたいのだが。
は、はい！
では、気を取り直して・・・
ケーリーハミルトンの定理より、\(A^2-２A-E=O\) となるため、
\(A^2=2A+E\)
\(=2\begin{pmatrix}3&1\\-2&-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}7&2\\-4&-1 \end{pmatrix}\)
同様にして、\(A^3=(2A+E)A=2A^2+A=2(2A+E)+A=5A+2E\)
\(=\begin{pmatrix}17&-10\\5&-3 \end{pmatrix}\)
すごい！！行列同士の積にならずに簡単な計算になった！！！
ケーリーハミルトンの定理の有用性はこのように、次数を下げることができるというところにあるんだ。
特に一番有効なのは、\(n\) 乗に対してです。ケーリーハミルトンの定理を使わずに、普通に計算しようと思っても、\(n\) 回行列の積の計算をするのは実質不可能ですよね。
しかし、ケーリーハミルトンの定理を使うことで解決します。
\(A^n=α_nA+β_nE\) とおくと、このとき
\(A^{n+1} =AA^n =A(α_nA+β_nE)=α_nA^2+β_nA=α_n(-3A-2E)+β_nA\)
\(=(-3α_n+β_n)A-2α_nE=α_{n+1}A+β_{n+1}E\)
と表すことができます。よって漸化式を利用することにより、
\(α_n=(-1)^n-(-2)^n\) となるため、
\(A^n=\begin{pmatrix}-3(-1)^{n-1}+4(-2)^{n-1}&2(-1)^n-2(-2)^n\\-3(-1)^n+3(-2)^n&2(-1)^{n-1}-6(-2)^{n-1} \end{pmatrix}\)
と表すことができる。
つまり、まとめるとケーリーハミルトンの定理とは、
①次数を下げること
② n乗の計算ができること
において便利であるといえます。
なるほど～かなり使い勝手のいい定理なんだなぁ・・・
この定理は忘れずに、常に念頭におき、使える場面では積極的に使おうな！
いかがでしたでしょうか。
ケーリーハミルトンの定理を応用し、一見計算が難しい問題でも、簡単に解けるように工夫してみてくださいね！
