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転置行列とは?定義と4つの性質を証明してみた

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さて、今回は行列のなかでも特徴的な転置行列についてです。

転置行列ってなんだっけなぁ・・・

転置行列は行列の中でも重要な役割を果たす行列だ!

しっかり押さえておこう!

今回は定義と重要な4つの性質についてまとめました。

それでは、確認してみましょう!

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転置行列の定義

\(ij\) 成分が \(a_{ij}\) であるような行列を \(A\) とする。このとき \(a_{ji}\) を \(ij\) 成分とするような行列を \(A\) の転置行列と言い、\(A^t\) などと表します。

なるほど!縦と横が逆になったイメージか!!!

転置行列のイメージ

この画像を頭に入れておくと、覚えやすいぞ!

\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4 \end{pmatrix}\)のとき、その転置行列は \(A^t=\begin{pmatrix}1&3\\2&4 \end{pmatrix}\)と表します。

 

転置行列の4つの性質

さて、転置行列には4つの大切な性質がありますので、押さえておきましょう!

ポイント

行列 \(A\) に対して、転置行列 \(A^t\) では以下の性質が成り立つ。

  ① \((A^t)^t=A\)

  ② \((A+B)^t=A^t+B^t\)

  ③ \((kA)^t=kA^t\)

  ④ \((AB)^t=B^tA^t\)

それぞれ証明してみましょう。

\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4 \end{pmatrix}\) , \(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8 \end{pmatrix}\) 

として、みなさんも是非答えを見る前に一度自分で計算をしてみてくださいね!

 

うーむ・・・計算頑張ればいけそうだ・・・

このくらいの計算はできて当たり前だろう!

◆解答◆

① \((A^t)^t\)\(={\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}}^t\)\(=\begin{pmatrix}1&2\\3&4 \end{pmatrix}\)\(=A\)

② \((A+B)^t\)\(\{\begin{pmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8 \end{pmatrix}\}^t\)\(=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\)\(=\begin{pmatrix}1&3\\2&4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5&7\\6&8 \end{pmatrix}\)\(=A^t+B^t\)

③ \((kA)^t\)\(={\begin{pmatrix}k&2k\\3k&4k\end{pmatrix}}^t\)\(=\begin{pmatrix}k&3k\\2k&4k\end{pmatrix}\)\(=kA^t\)

④  \((AB)^t\)\(={\begin{pmatrix}19&24\\43&50\end{pmatrix}}^t=\begin{pmatrix}19&43\\24&50\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&7\\6&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}=B^t A^t\)

 

この4つが非常に重要だ!死ぬ気で頭に入れておくこと!!!

は・・・はい!本当に暗記しないとヤバそうだな・・・・・

転置行列は一度確認しておけば、そこまで難しくない定義かと思います。

しかし、行列の中でも存在自体はとても重要なものですので定義・性質をしっかり頭に入れておくことが必要です。

 

イメージをしっかり叩き込みましょう!

こちらの動画を参考にしてみてください

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