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ベクトル空間とは何かテントで例えてみた

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ベクトル空間ってなんだ??空間を張る?貼る?意味わからん・・・

ベクトル空間を張るのはつまり・・・・・テントを張るのと一緒だ!!!

急にテント?先生キャンプ気分なのかな・・・

今回のテーマは「ベクトル空間を張る」についてです。

はじめはとっつきにくい内容かもしれませんが、数学を勉強していこうという人にとってはかかせない知識ですので、やっていくしかありません!

ベクトルが空間を作り上げるという概念がないと線形写像のところで痛い目にアイマスので、必ずマスターしておきましょう!

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ベクトルが空間を張る?

そもそもベクトル空間とは、別名線形空間とも言われるもので、以下のような空間を指します。

ポイント1

ベクトル空間とは

和 \(\vec{x} + \vec{y}\) とスカラー倍 \(a \vec{x}\) が定義されていて、

数と同じような法則をみたしている空間

身近な例でいうと、「直線上における実数全体」や「平面上におけるベクトル全体」がこれに値します。

こういった身近な空間のエッセンスをとり出して抽象化したものが線形空間の概念になります。

 

ベクトルを張る」というのは「ベクトルを生成する」ということであり、

ベクトルの一次結合で空間の任意の元を表せること

を指します。

ポイント2

\(W=\) {\( \vec{x} | \vec{x} \) \(=c_1 \vec{a_1}+\cdots +c_k \vec{a_k} , c_1 , c_k \in \vec{R}\)}

を\(\vec{a_1} , \cdots , \vec{a_k}\) で張られる空間、または生成される空間といい、\(\vec{a_1} , \cdots , \vec{a_k}\)を\(W\) の生成元という。

つまり、\(\vec{a_1} , \cdots , \vec{a_k}\) がそれぞれの脚で、ベクトルが空間を張るっていうのはその脚を基点としてテントが張られているようなイメージだな!

なるほど!「張る」っていうのはそういうイメージか・・・なんかイメージ湧いてきたかも!

ベクトルは空間の座標を表す

ベクトル」と聞くと、「大きさと方向を持った線分」や「2・3次元にある矢印」というイメージがあると思います。

これは高等学校で学習するベクトルが幾何に対するモノで非常に基礎的な知識だけを学んだことによる誤解なのです。実は、高等学校で習ったベクトルは大学では幾何ベクトルと呼ばれるような性質のもので、ベクトルの一部分に過ぎなかったのです。

実際ベクトルといったときにはもっと大きな概念があるのです。

ベクトルというのはベクトル空間の元であり、つまり

ベクトル空間という集合の要素

だったのです!

よってベクトルは空間の座標を表すものであり、いわば、テントの脚みたいな役割を果たしています。

テントは脚がなければ立ちませんし、張れもしません。ベクトル空間も同様で、ベクトルという要素があってこそ張れるものなのです。

そうか!ベクトルって矢印の図形的なイメージだったけど、大学で使われるベクトルはそれを一般化した広義的なものを指していたのか!勘違いしてた!

ベクトルという言葉が指す意味自体、高校から大学に来て変わっているんだ。

それに気づかないと、いくら勉強をしても混乱してしまうから気をつけよう!

いかがでしたでしょうか。空間ベクトルとベクトルの関係はしっかり整理しておくと、今後の学習に役立ちますよ!

 

最初の10秒の掴みでベクトル空間が好きになれる動画を張っておきます。

 

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