リーマン・ルベーグの補助定理の証明をサクッとやってみた

実フーリエ級数で考えれば、次のとおりです。 $$f(x)が区間[a, b]で連続ならば次式が成り立ちます。$$ $$\lim_{n \to \infty}\int_{a}^{b}f(x)\sin\,\alpha x\,\diff x = 0\tag{1}$$ $$\lim_{n \to \infty}\int_{a}^{b}f(x)\cos\,\alpha x\,\diff x= 0\tag{2}$$ 複素フーリエ級数で考えれば、次のとおりです。 $$f(x)が区間[a, b]で区分的に連続ならば次式が成り立ちます。$$ $$\lim_{n \to \pm \infty}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{e}^{-inx}\,\diff x = 0\tag{3}$$

まず、[a, b]でf(x)が連続ということからf(x)は次のように定義できます。ただし、Mは任意の正の整数です。 $$|f(x)| < M$$ ここで[a, b]をn等分します。つまり、 $$a < x_1 < x_2 < \cdots < x_n < x_{n+1} < b$$ また、 $$\Delta x = x_n+1 \ x_n、つまり、n・\Delta x = b \,-\, aとします。$$ (1)の左辺の絶対値を考えますと、 $$\begin{align*}\begin{array}{|}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)sin \,\alpha x \diff x\end{array}    \\  = \begin{array}{|}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)sin \,\alpha x \diff x\end{array} \\ ≦ \sum_{k=1}^{n}\begin{array}{|}\int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)\sin\,\alpha x \diff x\end{array}\end{align*}$$ ここで少し細工をします。 $$\begin{align*}=\sum_{k=1}^{n}\begin{array}{|}\int_{x_k}^{x_{k+1}}\left\{(f(x) – f(x_k))+ f(x_k)\right\}\sin\,\alpha x \diff x\end{array} \\ ≦ \sum_{k=1}^{n}\begin{array}{|}\int_{x_k}^{x_{k+1}}\left\{f(x) – f(x_k)\right\}\sin\,\alpha\,x \diff x\end{array} + \begin{array}{|}f(x_k)\int_{x_k}^{x_{k+1}}\sin\,\alpha x \diff x\end{array} \\ ≦ \sum_{k=1}^{n}\int_{x_k}^{x_{k+1}}\begin{array}{|}f(x) – f(x_k)\end{array} \times\begin{array}{|}\sin\,\alpha\,x \diff x\end{array} + |f(x_k)|\times\begin{array}{|}\int_{x_k}^{x_{k+1}}\sin\,\alpha x \diff x\end{array} \\ = \sum_{k=1}^{n}\left\{\int_{x_k}^{x_{k+1}}\begin{array}{|}f(x) – f(x_k)\end{array}\diff x + M\begin{array}{|}\int_{x_k}^{x_{k+1}}\sin\,\alpha x \diff x\end{array}\right\}\end{align*}$$ これは$$|\sin\,\alpha x| ≦ 1$$と$$|f(x) ≦ M$$から導き出せます。 ここで、 $$\begin{align*}M\begin{array}{|}\int_{x_k}^{x_{k+1}}\sin\,\alpha x \diff x\end{array}& = \begin{array}{|} – \frac{M}{\alpha}\bigg[\cos\,\alpha x\bigg]_{x_k}^{x_{k+1}}\end{array} \\ & = \frac{M}{\alpha}\begin{array}{|}\cos \,\alpha x_{k+1} – \cos\,\alpha x_k\end{array} \\ & ≦ \frac{M}{\alpha}\left(|\cos\,\alpha x_{k+1}| + |\cos\,\alpha x_k|\right) \\ & ≦ \frac{2M}{\alpha}\end{align*}$$ ここで、ε-N論法の出番です。

任意の正数εが与えられたとき、ある自然数n₀が n >n₀のとき、$$|\alpha -a_0| < ε$$となるように選べます。 このとき$$数列{a_n}は\alphaに収束する$$といいます。

論理式で書くと $$\begin{align*}\forall\epsilon > 0,\exists N> 0\,\,\,\,\, s.t \,\,\,\,\,n ≧ N \longleftrightarrow |f(x) – f(x_k)| < ε \\ & (k = 1, 2, 3, \cdots , n)\end{align*}$$ $$この場合のxは、x_k < x < x_{k+1}の間の任意の実数です。$$ これは任意のεで成り立つならば限りなく0に近いεでも成り立つという意味です。 すると、 $$\begin{align*}\begin{array}{|}\int_{a}^{b}f(x)\sin\,\alpha x \diff x\end{array} ≦ \sum_{k=1}^{n}\left(\int_{x_k}^{x_{k+1}}ε\diff x + \frac{2M}{\alpha}\right) \\ = \sum_{k=1}^{n}ε\left[x\right]_{x_{k+1}}^{x_k} + \sum_{k=1}^{n}\frac{2M}{\alpha} \\  = ε\sum_{k=1}^{n}\Delta x + \frac{2Mn}{\alpha} \\ = ε(b – a) + \frac{2Mn}{\alpha}\end{align*}$$ $$\begin{align*}\lim_{\alpha \to \infty}\begin{array}{|}\int_{a}^{b}f(x)\sin\,\alpha x \diff x\end{array} ≦ \lim_{\alpha \to \infty}\left\{ε(b – a) + \frac{2Mn}{\alpha}\right\} = ε(b – a)\end{align*}$$ ε(b – a)は限りなく0に近いεでも成立します。よって上記の式は任意の正数εでも成立しますので、 $$\lim_{\alpha \to \infty}\begin{array}{|}\int_{a}^{b}f(x)\sin\,\alpha x \diff x\end{array} = 0$$が導かれるのです。同様に、 $$\lim_{\alpha \to \infty}\begin{array}{|}\int_{a}^{b}f(x)\cos\,\alpha x \diff x\end{array} = 0$$ も成り立ちます。

まず、(3)からイメージできるのは、周波数が無限に大きくなるとフーリエ係数は0に収束する」ということを意味しています。これは(1)と(2)にもいえることです。つまり、波が十分に細かければ、波の山と谷で打ち消しあって、積分すると消えてしまうということが直感的にわかると思います。 それでは証明しましょう。 まず、 $$F = \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{e}^{-inx}\diff x\tag{4}$$ と置きます。この積分で$$x = t + \frac{\pi}{n}$$と置換すると、$$\diff x = \diff n$$で、$$x = aのときt = a – \frac{\pi}{n}、x = bのときt = b – \frac{\pi}{n}$$となりますので、 $$\begin{align*}F & = \int_{a-\frac{\pi}{n}}^{b – \frac{\pi}{n}}f(t + \frac{\pi}{n})\mathrm{e}^{-in(t + \frac{\pi}{n})}\diff  t \\ & = \int_{a-\frac{\pi}{n}}^{b – \frac{\pi}{n}}f\left(t + \frac{\pi}{n}\right)\mathrm{e}^{-inx}\mathrm{e}^{-in\frac{\pi}{n}} \diff t \\ & = -\int_{a-\frac{\pi}{n}}^{b \ \frac{\pi}{n}}f(t + \frac{\pi}{n})\mathrm{e}^{-int} \diff t\tag{5}\end{align*}$$ 積分変数は何でもいいのでxにします。(4)と(5)の和をとると $$\begin{align*}2F= \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{e}^{-inx}\diff x-\int_{a-\frac{\pi}{n}}^{b \ \frac{\pi}{n}}f(t + \frac{\pi}{n})\mathrm{e}^{-int} \diff t \\ = -\int_{a- \frac{\pi}{n}}^{a}f(t + \frac{\pi}{n})\mathrm{e}^{-inx} \diff x + \int_{a}^{b-\frac{\pi}{n}}\left\{f(x) – f(x + \frac{\pi}{n})\right\} \mathrm{e}^{-inx} \diff x + \int_{b-\frac{\pi}{n}}^{b}f(x)\mathrm{e}^{-inx} \diff x\end{align*}$$ 上式の第一項と第三項は、$$n \to \inftyのとき、積分区間の幅が0になるので、第一項と第三項は0です。$$また、第二項ですが、これも$$n \to \inftyのとき、f(x) – f(x -\frac{\pi}{n})は0になります。$$よって(3)は証明できました。