$$\newcommand{\diff}{\mathrm{d}}$$
ここではフーリエ変換におけるパーシヴァルの等式の説明をしますが、その前にベッセルの不等式を説明しなければなりません。ベッセルの不等式はフーリエ級数から導かれるもので、また、パーシヴァルの等式もフーリエ級数から導かれるものなのです。そのフーリエ変換の場合をここでは説明します。
ベッセルの不等式
周期$$L(>0)$$の周期関数$$f(t)$$のフーリエ級数の第n部分和は、$$\begin{align*}S_n(t) = \sum_{k =1}^{n}c_k\mathrm{e}^{ik\omega t} && \left(\omega = \frac{2\pi}{L},\,\,\,c_k = \frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-ik\omega t}\diff t\right)\end{align*}$$と表されます。このとき関数$$f(t)$$は$$\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\begin{array}{|}f(t)\end{array}^2\diff t < \infty$$であるとします(これを$$f(t)$$は$$\left[-\frac{L}{2}, \frac{L}{2}\right]$$で2乗可積分であるといいます)。このとき次の式が成り立ちます。
$$\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}|c_k|^2 \leq \frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\begin{array}{|}f(t)\end{array}^2\diff t && (n \geq 1) && (1)\end{align*}$$
これをベッセルの不等式といいます。
整数$$k,l$$に対し$$\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\mathrm{e}^{-i(k – l)\omega t}\diff t = \left\{\begin{array}{}1 && (k = l) \\0 && (k \neq l)\end{array}\right.$$です。ゆえに$$\begin{align*}\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\begin{array}{|}S_n(t)\end{array}^2\diff t \\ &=\ \frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\left(\sum_{k =1}^{n}c_k\mathrm{e}^{ik\omega t}\right)\left(\overline {\sum_{l =1}^{n}c_l\mathrm{e}^{il\omega t}}\right)\diff t \\ &=\ \sum_{k =1}^{n}\sum_{l =1}^{n}\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\left(c_k\mathrm{e}^{ik\omega t}\right)\left(\overline {c_l}\mathrm{e}^{-il\omega t}\right)\diff t \\&=\ \sum_{k =1}^{n}\sum_{l =1}^{n}c_k\overline{c_l}\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\mathrm{e}^{i(k – l)\omega t}\diff t \\ &=\ \sum_{k =1}^{n}c_k・\overline{c_k} \\ &=\ \sum_{k =1}^{n}\begin{array}{|}c_k\end{array}^2\end{align*}$$です。また、$$\begin{align*}c_k =\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-ik\omega t}\diff t\end{align*}$$に対し$$\begin{align*}\overline{c_k} = \frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\overline{f(t)\mathrm{e}^{-ik\omega t}}\diff t \\ = \frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f(t)\mathrm{e}^{ik\omega t}\diff t&& (\overline{f(t)} = f(t)は実数)\end{align*} $$ですので、$$\begin{align*}\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}S_n(t)f(t)\diff t \\ &=\ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}c_k\mathrm{e}^{ik\omega t}f(t)\diff t \\ &=\ \sum_{k=1}^{n}c_k\times\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f(t)\mathrm{e}^{ik\omega t}\diff t \\ &=\ \sum_{k=1}^{n}c_k×\overline{c_k} \\ &=\ \sum_{k=1}^{n}\begin{array}{|}c_k\end{array}^2\end{align*}$$です。同様に、$$\begin{align*}\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\overline{S_n(t)}f(t)\diff t \\ &=\ \sum_{k=1}^{n}\overline{c_k}\times\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-ik\omega t}\diff t \\ &=\ \sum_{k=1}^{n}\overline{c_k}\times c_k \\ &=\ \sum_{k=1}^{n}\begin{array}{|}c_k\end{array}^2\end{align*}$$となります。それゆえに、
$$\begin{align*}\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\begin{array}{|}S_n(t) – f(t)\end{array}^2\diff t \\ = \frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\left(S_n(t) – f(t)\right)\left(\overline{S_n(t) – f(t)}\right)\diff t \\ = \frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\left(\begin{array}{|}S_n\end{array}^2-S_n(t)f(t)-\overline{S_n(t)}f(t) + \begin{array}{|}f(t)\end{array}^2\right)\diff t \\ = \sum_{k=1}^{n}\begin{array}{|}c_k\end{array}^2\diff t – \sum_{k=1}^{n}\begin{array}{|}c_k\end{array}^2 – \sum_{k=1}^{n}\begin{array}{|}c_k\end{array}^2+\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\begin{array}{|}f(t)\end{array}^2\diff t\end{align*}$$となります。ゆえに$$\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\begin{array}{|}f(t)\end{array}^2\diff t – \sum_{k=1}^{n}\begin{array}{|}c_k\end{array}^2 =\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\begin{array}{|}S_n(t) – f(t)\end{array}^2\diff t \geq 0$$
よって(1)が得られ、証明できました。
パーシヴァルの等式とは？
パーシヴァル(パーセバル)の等式はフーリエ級数から求められます。区間$$[-L, L]$$で定義された区分的に連続な関数$$f(x)$$のフーリエ級数は以下のとおりです。
$$\begin{align*}f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos \frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L} \right] && (1) \\ a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\diff x,\,\,\,b_n = \frac{1}{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\diff x\end{align*}$$
ここで、(1)の両辺に$$f(x)$$をかけて関数が定義されている区分で積分を行います。
$$\begin{align*}\int_{-L}^{L}\begin{array}{|}f(x)\end{array}^2\diff x\\ &=\ \int_{-L}^{L}\frac{a_0}{2}f(x)\diff x + \int_{-L}^{L}\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right]f(x)\diff x \\ &=\ \frac{a_0}{2}\int_{-L}^{L}f(x)\diff x + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\diff x + b_n\int_{-L}^{L}\sin\frac{n\pi x}{L}\diff x\right] \\ & (6)のa_nとb_nの式より、\\ &=\ L\frac{a_0^2}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty}\left(L a_n^2 + L b_n^2\right) && (2)\end{align*}$$
ここまではわかると思います。そして、(2)より、$$\begin{align*}\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\begin{array}{|}f(x)\end{array}^2\diff x = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n^2 + b_n^2\right) && (3)\end{align*}$$が導かれます。この(3)がパーシヴァルの等式と呼ばれるものです。
ベッセルの不等式とパーシヴァルの等式の関係
現実問題としてフーリエ級数は無限大まで値をと取らずに途中で打ち切った値で、近似値を計算するのが常としています。コンピュータ計算はその最たるものです。そこで区間$$[L,-L]$$で定義された関数$$f(x)$$を有限な数の三角関数で展開します。つまり、$$\begin{align*}\overline{f}(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{k}\left[a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right] && (4)\end{align*}$$
この場合、パーシヴァルの等式は、
$$\begin{align*}\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\begin{array}{|}f(x)\end{array}^2\diff x \geq \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{k}\left(a_n^2 +b_n^2\right) && (5)\end{align*}$$
ここで周期を$$L$$とすれば、(5)式は次のようになります。
$$\begin{align*}\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\begin{array}{|}f(x)\end{array}^2\diff x \geq \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n =1}^{k}\left( a_n^2 + b_n^2\right) && (6)\end{align*}$$
(6)を複素フーリエ級数で表すと、
$$\begin{align*}\sum_{k=1}^{k}|c_k|^2 \leq \frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\begin{array}{|}f(t)\end{array}^2\diff t && (7)\end{align*}$$
ただし、$$\begin{align*}\omega = \frac{2\pi}{L},\,\,\,c_k = \frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f(t)\mathrm{e}^{-ik\omega t}\diff t\end{align*}$$
ここで$$k$$を$$n$$で置き換えると(1)のベッセルの不等式になっていることがわかると思います。
フーリエ変換におけるパーシヴァルの等式
(3)のパーシヴァルの等式を周期$$L$$の複素フーリエ級数で表すと、
$$\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\begin{array}{|}f(x)\end{array}^2\diff x = \sum_{n=1}^{\infty}\begin{array}{|}c_n\end{array}^2$$となります。これを区間$$[-\infty,\infty]$$の和を取り、$$x$$を$$t$$に変換し、周期を$$T$$とすると次のようになります。
$$\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\begin{array}{|}f(t)\end{array}^2\diff t = \sum_{-\infty}^{\infty}\begin{array}{|}c_n\end{array}^2$$
これがフーリエ変換でも成り立つのです。その関係は次のとおりです。
$$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}\begin{array}{|}f(t)\end{array}^2\diff t = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\begin{array}{|}\mathcal{F}(\omega)\end{array}^2\diff\omega && (8)\end{align*}$$
フーリエ級数はフーリエ変換に対応することを覚えていると思います。
$$c_n = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\mathrm{e}^{i\pi\Delta \omega t}\diff t,\,\,\, \mathcal{F}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\mathrm{e}^{i\omega t}\diff t$$
フーリエ変換のパーシヴァルの等式を証明するには畳み込み積分(合成積)のフーリエ変換を利用します。
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(t – \tau)g(\tau)\diff \tau = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(\omega)\mathcal{G}(\omega)\mathrm{e}^{i\omega t}\diff \omega$$
上式の右辺で$$\mathcal{G}(\omega)= \overline{\mathcal{F}(\omega)}$$とし、また、$$t = 0$$とおくと、
$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(\omega)\overline{\mathcal{F}(\omega)}\mathrm{e}^{0}\diff\omega = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(\omega)\overline{\mathcal{F}(\omega)}\diff\omega =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\begin{array}{|}\mathcal{F}(\omega)\end{array}^2\diff \omega$$となり、(8)の右辺が導かれます。次に$$\mathcal{G}$$の代わりの$$\overline{\mathcal{F}(\omega)}$$のフーリエ逆変換を調べると、
$$\begin{align*}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\overline{\mathcal{F}(\omega)}\mathrm{e}^{i\omega t}\diff \omega \\ &=\ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\overline{\mathcal{F}(\omega)}\mathrm{e}^{-i\omega(-t)}\diff\omega \\ &=\ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\overline{\mathcal{F}(\omega)}\overline{\mathrm{e}^{i\omega(-t)}}\diff\omega \\ &=\ \frac{1}{2\pi}\overline{\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}(\omega)\mathrm{e}^{i\omega(-t)}\diff\omega} \\ &=\ \overline{f(-t)}\end{align*}$$となります。ここで、$$g(\tau) = \overline{f(-\tau)}$$として、また、$$t = 0$$とすると、
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(t – \tau)g(\tau)\diff \tau = \int_{-\infty}^{\infty}f(0 – \tau)\overline{f(-\tau)}\diff \tau = \int_{-\infty}^{\infty}f(-\tau)\overline{f(-\tau)}\diff \tau = \int_{-\infty}^{\infty}\begin{array}{|}f(-\tau)\end{array}^2\diff \tau$$
ここで$$-\tau = \tau^\prime$$に置き換えれば、
$$\int_{-\infty}^{\infty}\begin{array}{|}f(- \tau)\end{array}^2\diff \tau = \int_{\tau^\prime =\infty}^{-\infty}\begin{array}{|}f(\tau^\prime)\end{array}^2\diff (-\tau^\prime) = \int_{-\infty}^{\infty}\begin{array}{|}f(\tau^\prime)\end{array}^2\diff \tau^\prime$$
これでようやく目的に達しました。
ゆえに、
$$\int_{-\infty}^{\infty}\begin{array}{|}f(t)\end{array}^2\diff t = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\begin{array}{|}\mathcal{F}(\omega)\end{array}^2\diff \omega$$
以上証明終了です。
まとめ
ここではベッセルの不等式、パーシヴァルの等式、ベッセルの不等式とパーシヴァルの等式の関係、そしてフーリエ変換におけるパーシヴァルの等式について説明してきました。少し、ボリュームが多くなってしまいましたが、どれも重要なものですので、覚えてください。
大半を各証明に費やしましたが、証明がわかれば、しめたものです。ここはじっくりを腰を据えて証明をゆっくりと理解しながら追ってみてください。
